A C. 1803. feladat (2024. március)

C. 1803. Hány olyan pozitív egész számokból álló számhármas van, amelyben a három szám legnagyobb közös osztója $\displaystyle 4$, legkisebb közös többszöröse pedig $\displaystyle 2024$?

Javasolta: Kozma Katalin Abigél (Győr)

(5 pont)

A beküldési határidő 2024. április 10-én LEJÁRT.

1. megoldás. Mindhárom szám osztható $\displaystyle 4$-gyel, ezért felírhatjuk $\displaystyle 4k$, $\displaystyle 4l$, $\displaystyle 4m$ alakban, ahol $\displaystyle k$, $\displaystyle l$, $\displaystyle m$ pozitív egész. Ekkor $\displaystyle k$, $\displaystyle l$, $\displaystyle m$ legnagyobb közös osztója nyilvánvalóan $\displaystyle 1$, legkisebb közös többszöröse $\displaystyle \frac{2024}{4}=506=2 \cdot 11 \cdot 23.$ Ez azt jelenti, hogy $\displaystyle k$, $\displaystyle l$, $\displaystyle m$ prímtényezős felbontásában nincs más prímtényező, csak a $\displaystyle 2$, $\displaystyle 11$ és $\displaystyle 23$. Mindháromban nem szerepelhet ugyanaz a prímtényező, de mindegyiknek legalább az egyikben szerepelnie kell. Ebből következően mindhárom prím hatványkitevője csak $\displaystyle 0$ vagy $\displaystyle 1$ lehet, és össze kell számolnunk, hogy ez hányféleképpen lehetséges. Ezt esetek vizsgálatával fogjuk megtenni úgy, hogy a $\displaystyle 2$-es és a $\displaystyle 11$-es kitevőjét rögzítjük mindhárom számban és megszámoljuk, hogy egy vagy két $\displaystyle 23$-ast hányféleképpen tudunk melléjük elhelyezni. Nyolc eset van.

1. eset. Egy $\displaystyle 2$-est és egy $\displaystyle 11$-est beteszünk a $\displaystyle k$ számba, ekkor az egy vagy két darab $\displaystyle 23$-ast az alábbi négy táblázatban feltüntetett módon tudjuk melléjük elhelyezni.

Nincs több lehetőség, mert ha például a $\displaystyle 2.$ táblázatban a $\displaystyle 23$-ast nem az $\displaystyle l$-hez, hanem az $\displaystyle m$-hez írjuk, az ugyanazt a számhármast eredményezi, hiszen nem rendezett számhármasokról van szó.

2. eset Egy $\displaystyle 2$-est a $\displaystyle k$ számhoz írunk, és egy-egy $\displaystyle 11$-est beírunk az $\displaystyle l$ és az $\displaystyle m$ számhoz. Ekkor az egy vagy két darab $\displaystyle 23$-ast az $\displaystyle 1.$ esethez hasonlóan négy különböző módon helyezhetjük el, mert ez alkalommal is felcserélhető az $\displaystyle l$ és az $\displaystyle m$ szerepe.

3. eset Egy-egy $\displaystyle 2$-est a $\displaystyle k$ és az $\displaystyle l$ számhoz is beírunk, és egy $\displaystyle 11$-est az $\displaystyle m$ számhoz teszünk. Most a $\displaystyle k$ és az $\displaystyle l$ cserélhető fel, így ez az eset is négy különböző számhármast eredményez.

4. eset Egy-egy $\displaystyle 2$-est, valamint egy-egy $\displaystyle 11$-est a $\displaystyle k$ és az $\displaystyle l$ számhoz is beírunk. Most is a $\displaystyle k$ és az $\displaystyle l$ cserélhető fel, így ez az eset is négy különböző számhármast eredményez.

5–8. eset Innentől már csak olyan esetek maradtak, ahol a három szám a $\displaystyle 2$-esek és $\displaystyle 11$-esek kiosztása után különbözik, így a $\displaystyle 23$-as vagy $\displaystyle 23$-asok kiosztása $\displaystyle 6$-féleképpen történhet. Például ha egy $\displaystyle 2$-est a $\displaystyle k$ számhoz, egy $\displaystyle 11$-est pedig az $\displaystyle l$ számhoz írunk, akkor az egy darab $\displaystyle 23$-ast bármelyikhez írva három különböző számhármast kapunk. Ha pedig két $\displaystyle 23$-ast osztunk ki, azt is háromféleképpen tehetjük meg, például aszerint, hogy melyikhez nem teszünk $\displaystyle 23$-ast a háromból. Így $\displaystyle 3+3=6$ számhármast kapunk ebben az esetben.

Teljesen hasonlóan járhatunk el, ha a $\displaystyle k$ számhoz írunk egy $\displaystyle 2$-est is és egy $\displaystyle 11$-est is, az $\displaystyle l$-hez pedig egy $\displaystyle 11$-est. (6. eset). A 7. esetben egy-egy $\displaystyle 2$-est írunk a $\displaystyle k$ és az $\displaystyle l$ számhoz és egy $\displaystyle 11$-est a $\displaystyle k$-hoz, míg az utolsó eset annyiban tér el az előzőtől, hogy egy $\displaystyle 11$-est még beírunk az $\displaystyle m$ számhoz. Ezek az esetek hat-hat számhármast eredményeznek.

Összesen $\displaystyle 4 \cdot 4 + 4 \cdot 6=16+24=40$ megfelelő számhármas van.

2. megoldás. Az 1. megoldás elején tett megállapítások miatt az eseteket oly módon is szétbonthatjuk, hogy a három számban összesen egyszer vagy kétszer szerepelnek az egyes prímtényezők, azaz $\displaystyle 2^3=8$ esetet vizsgálunk.

1. eset. Ha a három prímtényező mindegyike egyszer szerepel, akkor az $\displaystyle 5$ különböző módon lehetséges, ahogy azt az alábbi 5 táblázat szemlélteti.

2. eset. Ha a $\displaystyle 2$-es kétszer szerepel, az azt jelenti, hogy abban az oszlopban két darab $\displaystyle 1$-est írunk a táblázatba és egy darab nullát, míg az 1. esetben egy darab $\displaystyle 1$-es szerepelt és két darab $\displaystyle 0$, ezért az esetek száma ugyanannyi lesz, hiszen két azonos és egy harmadik, a többitől eltérő elemet mozgatunk mindkét esetben.

3–8. eset. A 2. esetnél leírtak miatt minden további esetben $\displaystyle 5$ különböző számhármast kapunk.

Összesen $\displaystyle 8 \cdot 5=40$ megfelelő számhármas van.

Statisztika:

149 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Baksa Anna, Balogh Péter, Barna Márton, Beinschroth Máté, Bencze Mátyás, Blaskovics Bálint, Budai Máté, Danka Emma, Derűs Ádám , Domján István, Hetyei Dániel, Horváth Imre, Inokai Ádám, Iván Máté Domonkos, Jeviczki Ádám, Kővágó Edit Gréta, Li Mingdao, Márfai Dóra, Masa Barnabás, Miskolczi Máté Pál, Mizsei Márton, Molnár-Sáska Tamás, Monoczki Máté, Nagy Huba, Palásthy Bánk, Simon Bálint, Sipos Márton, Szabó Donát, Szamkó Hanna, Tajta Sára, Tóth Luca, Török Eszter Júlia, Viczián Márk, Volford Barnabás.
4 pontot kapott:	Ai Le, Braun Zsófia, Komlósdi Sára, Máté Kristóf, Rasztgyörgy Jázmin, Wodala Gréta Klára.
3 pontot kapott:	11 versenyző.
2 pontot kapott:	16 versenyző.
1 pontot kapott:	41 versenyző.
0 pontot kapott:	15 versenyző.
Nem versenyszerű:	5 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	13 dolgozat.

A KöMaL 2024. márciusi matematika feladatai