A C. 1804. feladat (2024. március)

C. 1804. Az $\displaystyle ABC$ háromszög $\displaystyle BC$, $\displaystyle CA$, $\displaystyle AB$ oldalainak felezőpontja rendre $\displaystyle D$, $\displaystyle E$, $\displaystyle F$. Az $\displaystyle AFE$, $\displaystyle BDF$, $\displaystyle CED$ háromszögek beírt köreinek középpontja rendre $\displaystyle K_a$, $\displaystyle K_b$, $\displaystyle K_c$. Bizonyítsuk be, hogy a $\displaystyle K_aFDE$, $\displaystyle K_bDEF$ és $\displaystyle K_cEFD$ négyszögek területének összege az $\displaystyle ABC$ háromszög területével egyenlő.

Javasolta: Bíró Bálint (Eger)

(5 pont)

A beküldési határidő 2024. április 10-én LEJÁRT.

Megoldás.

Az $\displaystyle ABC$ háromszög középvonalai az $\displaystyle EF$, $\displaystyle FD$ és $\displaystyle DE$ szakaszok. Ebből következik, hogy $\displaystyle EF\parallel CB$, $\displaystyle FD\parallel AC$, $\displaystyle DE\parallel BA$, és $\displaystyle \displaystyle{EF=\frac{1}{2}CB}$, $\displaystyle \displaystyle{FD=\frac{1}{2}AC}$, $\displaystyle \displaystyle{DE=\frac{1}{2}BA}$. A megfelelő szögek páronkénti egyenlőségéből és a megfelelő szakaszok hosszából következik, hogy $\displaystyle ABC \triangle \sim AFE \triangle$, valamint $\displaystyle AFE\triangle \cong FBD \triangle \cong EDC \triangle \cong DEF \triangle$, továbbá az is igaz, hogy

A feladatban szereplő területösszeget jelöljük $\displaystyle S$-sel:

$\displaystyle S=T_{K_aFDE}+T_{K_bDEF}+T_{K_cEFD}.$

Mindhárom négyszöget két-két háromszögre vághatunk, így a területösszegekre igaz, hogy:

Ha ezeket összeadjuk, azt kapjuk, hogy $\displaystyle (2)+(3)+(4)$:

Tudjuk, hogy az $\displaystyle AFE\triangle \cong FBD \triangle$, és a beírt kör középpontja a belső szögfelezők metszéspontja, ezért $\displaystyle EK_a \parallel DK_b$, $\displaystyle K_aF \parallel K_bB$, továbbá $\displaystyle EF \parallel DB$ és $\displaystyle EF=DB$, ezért az alábbi egybevágóság teljesül:

$\displaystyle EK_aF \triangle \cong DK_bB\triangle,$

és ugyanígy igaz, hogy

$\displaystyle K_cED \triangle \cong K_bFB \triangle,\hspace{0.3cm}\text{tehát}$

$\displaystyle T_{EK_aF} + T_{DFK_b} + T_{K_cED} = T_{DK_bB} + T_{DFK_b} + T_{K_bFB} = T_{FBD}=T_{DEF}.$

Ebből, az (5)-ből és az (1)-ből következik, hogy

$\displaystyle S=4\cdot T_{DEF}=T_{ABC}.$

Statisztika:

154 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	85 versenyző.
4 pontot kapott:	26 versenyző.
3 pontot kapott:	10 versenyző.
2 pontot kapott:	3 versenyző.
1 pontot kapott:	4 versenyző.
Nem versenyszerű:	9 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	9 dolgozat.

A KöMaL 2024. márciusi matematika feladatai