A C. 1806. feladat (2024. március)

C. 1806. Egy okostelefon banki applikációja a belépéshez négyjegyű PIN-kódot kér, de biztonsági okokból mindig véletlenszerűen osztja ki a számjegyeket az ábrán látható billentyűhelyekre úgy, hogy minden lehetséges kiosztás valószínűsége azonos. (Egy lehetséges kiosztás szerepel az ábrán.) Ha négy különböző számjegyből áll a PIN-kódunk, akkor mekkora a valószínűsége annak, hogy két belépés során ugyanazokban a pozíciókban hagyunk ujjlenyomatot?

Javasolta: Gáspár Merse Előd (Budapest)

(5 pont)

A beküldési határidő 2024. április 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A számjegyek különbözőek és a billentyűhelyekre tetszőleges sorrendben kerülhetnek, így összesen \(\displaystyle 10!=3\,628 \,800\) eset van. Amikor először beírjuk a PIN-kódunkat, akkor rögzítjük azt a négy billentyűhelyet, amelyeket a második belépéskor használni fogunk. Kedvező esetben a PIN-kódunk négy különböző számjegye \(\displaystyle 4!\)-féleképpen kerülhet az előzőleg használt négy helyre, a maradék hat számjegy pedig \(\displaystyle 6!\)-féleképpen kerülhet a többi billentyűhelyre. Ez a két esemény független egymástól, így a kedvező esetek száma \(\displaystyle 4! \cdot 6!=24 \cdot 720=17\,280\).
A keresett valószínűség: \(\displaystyle p=\displaystyle{\frac{17\,280}{3\,628\,800} = \frac{1}{210}} \approx 0,\!00476 \).

Statisztika:

75 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	52 versenyző.
4 pontot kapott:	2 versenyző.
3 pontot kapott:	2 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	11 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2024. márciusi matematika feladatai