A C. 1807. feladat (2024. március)

C. 1807. Legyen $\displaystyle ABC$ egy olyan háromszög, amelyben igaz, hogy $\displaystyle 2\beta=3\gamma$. Legyenek a $\displaystyle D$ és az $\displaystyle E$ az $\displaystyle AC$ oldal pontjai úgy, hogy $\displaystyle BD$ és $\displaystyle BE$ a $\displaystyle \beta$ szöget harmadolják, és a $\displaystyle D$ pont az $\displaystyle A$ és az $\displaystyle E$ közé essen. Továbbá $\displaystyle F$ legyen az $\displaystyle AB$ oldal és a $\displaystyle \gamma$ szögfelezőjének metszéspontja. Igazoljuk, hogy $\displaystyle BE$ és $\displaystyle DF$ párhuzamosak.

Svájci versenyfeladat

(5 pont)

A beküldési határidő 2024. április 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Mivel $\displaystyle 2\beta=3\gamma$, ezért $\displaystyle \displaystyle{\frac{\beta}{3}=\frac{\gamma}{2}=\varphi}$. Használjuk ezt a jelölést az alábbi ábrán!

Bármely háromszög belső szögeinek összege $\displaystyle 180^{\circ}$. Írjuk fel ezt az $\displaystyle ABC\triangle$-re:

Ezt az összefüggést alkalmazva a $\displaystyle BCD \triangle$-re és a $\displaystyle BCF\triangle$-re, azt kapjuk, hogy

$\displaystyle BDC\sphericalangle=\alpha+\varphi, \hspace{0.2 cm} \text{és}$

$\displaystyle BFC\sphericalangle =\alpha+\varphi.$

Ez azt jelenti, hogy az $\displaystyle F$ és a $\displaystyle D$ pontok rajta vannak a $\displaystyle BC$ szakasz fölé rajzolt $\displaystyle \alpha+\varphi$ nagyságú egyik látószögköríven, tehát a $\displaystyle BCDF$ húrnégyszög (*).
Ebből következően:

Az $\displaystyle FDC\sphericalangle$-re írjuk fel, amit már tudunk:

A (3) és az (1) segítségével írjuk át a (2) összefüggést, és rendezzük.

$\displaystyle 3\varphi+FDB\sphericalangle+\alpha+\varphi=180^{\circ}=\alpha+5\varphi.$

Azt kaptuk tehát, hogy $\displaystyle EBD\sphericalangle=FDB\sphericalangle$, vagyis az $\displaystyle EBD\sphericalangle$ és az $\displaystyle FDB\sphericalangle$ váltószögek. Ebből következik, hogy $\displaystyle BE\parallel DF$.

Megjegyzés. A (*) jeltől a (4) egyenlőségig akár a következőképp is eljuthatunk:
$\displaystyle BCDF$ húrnégyszög, tehát a köré írható kör $\displaystyle C$-t nem tartalmazó $\displaystyle BF$ ívéhez tartozó kerületi szögek egyenlők, tehát

$\displaystyle BCF\sphericalangle=\varphi=FDB\sphericalangle.$

Statisztika:

37 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Baksa Anna, Balogh Péter, Bencze Mátyás, Braun Zsófia, Gyuricsek Ákos, Inokai Ádám, Iván Máté Domonkos, Márfai Dóra, Monoczki Máté, Nagy 292 Korina, Szabó Donát, Volford Barnabás, Wodala Gréta Klára, Žigo Boglárka.
4 pontot kapott:	Gál András, Nagy Huba, Németh Hanna Júlia , Petró Péter, Simon Bálint, Somogyi Dóra, Török Eszter Júlia.
3 pontot kapott:	4 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	6 versenyző.

A KöMaL 2024. márciusi matematika feladatai