Problem C. 1808. (April 2024)

C. 1808. Boglárka fills in each square of a \(\displaystyle 4\times 4\) lattice with exactly one of numbers \(\displaystyle 2023\), \(\displaystyle 2024\) and \(\displaystyle 2025\). How many ways can she do this, if we also require that the sum of the four numbers in each row and each column must be divisible by 3?

Proposed by Katalin Abigél Kozma, Győr

(5 pont)

Deadline expired on May 10, 2024.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Először a bal felső \(\displaystyle 3\)-szor \(\displaystyle 3\)-as négyzethálót tetszőlegesen kitöltjük, azaz a \(\displaystyle 9\) mező mindegyikébe a megadott \(\displaystyle 3\) szám bármelyikét beírjuk, ez összesen \(\displaystyle 3^9=19683\) különböző kitöltést jelent. Ezután megmutatjuk, hogy az ily módon üresen maradó utolsó oszlopban, illetve legalsó sorban lévő \(\displaystyle 7\) négyzetbe kerülő számok egyértelműen meghatározottak. Nyilvánvaló, hogy az alsó sor első \(\displaystyle 3\) négyzetébe kerülő számok a saját oszlopukban lévő \(\displaystyle 3\) szám összegének hármas maradéka alapján egyértelműek, hiszen a \(\displaystyle 2023\), \(\displaystyle 2024\), \(\displaystyle 2025\) számok \(\displaystyle 3\)-mal való osztási maradéka eltérő. Ugyanez a gondolatmenet érvényes a negyedik oszlop felső \(\displaystyle 3\) négyzetére, a saját sorukban lévő három szám összegének \(\displaystyle 3\)-mal való osztási maradéka alapján. De mi a helyzet a jobb alsó sarokban lévő négyzettel: ki lehet-e mindig tölteni? Vegyük észre, hogy a felette lévő \(\displaystyle 3\) szám összegének ugyanannyi a \(\displaystyle 3\)-mal való osztási maradéka, mint az utolsó sor elejére beírt \(\displaystyle 3\) szám összegének, hiszen bármelyikhez hozzáadva a bal felső \(\displaystyle 3\)-szor \(\displaystyle 3\)-as négyzethálóban lévő számok összegét, \(\displaystyle 3\) teljes sor, illetve \(\displaystyle 3\) teljes oszlop összegét, azaz egy \(\displaystyle 3\)-mal osztható számot kapunk. Vagyis a válaszunk igen, a jobb alsó sarkot mindig ki lehet egyértelműen tölteni. Ezzel beláttuk, hogy az első lépés után üresen maradt \(\displaystyle 7\) négyzetbe mindig pontosan egy számot írhatunk be a \(\displaystyle 2023\), \(\displaystyle 2024\), \(\displaystyle 2025\) közül.

A lehetőségek száma: \(\displaystyle 3^9=19683.\)

Statistics:

122 students sent a solution.
5 points:	Aaishipragya Kahaly, Auer Sára, Balogh Péter, Bartusková Viktória, Beinschroth Máté, Bencze Mátyás, Budai Máté, Csiszár András, Dancsák Dénes, Danka Emma, Domján István, Farkas Noémi , Fülöp Máté, Gerencsér László, Hetyei Dániel, Horváth Imre, Inokai Ádám, Iván Máté Domonkos, Juhos Bálint András, Jurányi Benedek, Kámán-Gausz Péter, Kókai Ákos, Kószó Ferenc, Kővágó Edit Gréta, Márfai Dóra, Masa Barnabás, Molnár Lili, Monoczki Máté, Nagy 292 Korina, Nelissen Sámuel Zalán, Pánovics Máté, Pázmándi József Áron, Pázmándi Renáta , Raffay Gergely, Sipos Márton, Szabó Donát, Tasnády-Szeőcs Zoltán, Tóth 207 Bence, Tóth Luca, Tóth Marcell Domonkos, Török Eszter Júlia, Viczián Márk, Volford Barnabás, Wodala Gréta Klára.
4 points:	22 students.
3 points:	3 students.
2 points:	3 students.
1 point:	16 students.
0 point:	20 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	8 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, April 2024