A C. 1808. feladat (2024. április)

C. 1808. Boglárka egy 4-szer 4-es négyzetháló minden négyzetébe beír a $\displaystyle 2023$, $\displaystyle 2024$, $\displaystyle 2025$ számok közül pontosan egyet. Hány különböző módon teheti ezt meg úgy, hogy minden sorban és minden oszlopban az oda beírt négy darab szám összege osztható legyen $\displaystyle 3$-mal?

Javasolta: Kozma Katalin Abigél (Győr)

(5 pont)

A beküldési határidő 2024. május 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Először a bal felső $\displaystyle 3$-szor $\displaystyle 3$-as négyzethálót tetszőlegesen kitöltjük, azaz a $\displaystyle 9$ mező mindegyikébe a megadott $\displaystyle 3$ szám bármelyikét beírjuk, ez összesen $\displaystyle 3^9=19683$ különböző kitöltést jelent. Ezután megmutatjuk, hogy az ily módon üresen maradó utolsó oszlopban, illetve legalsó sorban lévő $\displaystyle 7$ négyzetbe kerülő számok egyértelműen meghatározottak. Nyilvánvaló, hogy az alsó sor első $\displaystyle 3$ négyzetébe kerülő számok a saját oszlopukban lévő $\displaystyle 3$ szám összegének hármas maradéka alapján egyértelműek, hiszen a $\displaystyle 2023$, $\displaystyle 2024$, $\displaystyle 2025$ számok $\displaystyle 3$-mal való osztási maradéka eltérő. Ugyanez a gondolatmenet érvényes a negyedik oszlop felső $\displaystyle 3$ négyzetére, a saját sorukban lévő három szám összegének $\displaystyle 3$-mal való osztási maradéka alapján. De mi a helyzet a jobb alsó sarokban lévő négyzettel: ki lehet-e mindig tölteni? Vegyük észre, hogy a felette lévő $\displaystyle 3$ szám összegének ugyanannyi a $\displaystyle 3$-mal való osztási maradéka, mint az utolsó sor elejére beírt $\displaystyle 3$ szám összegének, hiszen bármelyikhez hozzáadva a bal felső $\displaystyle 3$-szor $\displaystyle 3$-as négyzethálóban lévő számok összegét, $\displaystyle 3$ teljes sor, illetve $\displaystyle 3$ teljes oszlop összegét, azaz egy $\displaystyle 3$-mal osztható számot kapunk. Vagyis a válaszunk igen, a jobb alsó sarkot mindig ki lehet egyértelműen tölteni. Ezzel beláttuk, hogy az első lépés után üresen maradt $\displaystyle 7$ négyzetbe mindig pontosan egy számot írhatunk be a $\displaystyle 2023$, $\displaystyle 2024$, $\displaystyle 2025$ közül.

A lehetőségek száma: $\displaystyle 3^9=19683.$

Statisztika:

122 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Aaishipragya Kahaly, Auer Sára, Balogh Péter, Bartusková Viktória, Beinschroth Máté, Bencze Mátyás, Budai Máté, Csiszár András, Dancsák Dénes, Danka Emma, Domján István, Farkas Noémi , Fülöp Máté, Gerencsér László, Hetyei Dániel, Horváth Imre, Inokai Ádám, Iván Máté Domonkos, Juhos Bálint András, Jurányi Benedek, Kámán-Gausz Péter, Kókai Ákos, Kószó Ferenc, Kővágó Edit Gréta, Márfai Dóra, Masa Barnabás, Molnár Lili, Monoczki Máté, Nagy 292 Korina, Nelissen Sámuel Zalán, Pánovics Máté, Pázmándi József Áron, Pázmándi Renáta , Raffay Gergely, Sipos Márton, Szabó Donát, Tasnády-Szeőcs Zoltán, Tóth 207 Bence, Tóth Luca, Tóth Marcell Domonkos, Török Eszter Júlia, Viczián Márk, Volford Barnabás, Wodala Gréta Klára.
4 pontot kapott:	22 versenyző.
3 pontot kapott:	3 versenyző.
2 pontot kapott:	3 versenyző.
1 pontot kapott:	16 versenyző.
0 pontot kapott:	20 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	8 dolgozat.

A KöMaL 2024. áprilisi matematika feladatai