Problem C. 1809. (April 2024)

C. 1809. Let point \(\displaystyle B\) be chosen inside line segment \(\displaystyle AC\). We draw isosceles triangles \(\displaystyle ABS_1\), \(\displaystyle BCS_2\) and \(\displaystyle CAS_3\) with no common interior points, bases \(\displaystyle AB\), \(\displaystyle BC\) and \(\displaystyle CA\), respectively, and base angles of \(\displaystyle 30^{\circ}\). Prove that triangle \(\displaystyle S_1S_2S_3\) is equilateral.

German competition problem

(5 pont)

Deadline expired on May 10, 2024.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Hosszabbítsuk meg a két kisebb háromszög oldalait a következőképp:

• \(\displaystyle AS_3 \cap BS_2 = P\),
• \(\displaystyle CS_3 \cap BS_1 = Q\),
• \(\displaystyle AS_1 \cap CS_2 = R.\)

A párhuzamosság miatt a \(\displaystyle PS_{3}QB\), a \(\displaystyle BS_2RS_{1}\) és az \(\displaystyle AS_{3}CR\) négyszögek mindegyike paralelogramma. Ezeknek a tompaszöge mindegyik esetében \(\displaystyle 120^{\circ}\). Továbbá az is igaz, hogy az \(\displaystyle APS_1\) háromszög szabályos, mivel \(\displaystyle AP=AS_1\), és a bezárt szögük \(\displaystyle 60^{\circ}\), ugyanilyen megfontolásból szintén igaz, hogy a \(\displaystyle QCS_2\) is szabályos. Ezek alapján az ábrán pirossal jelölt szögek nagysága

\(\displaystyle S_{1}PS_{3} \sphericalangle = S_3QS_{2} \sphericalangle = S_2RS_{1} \sphericalangle = 120^{\circ}.\)

Mindezekből következően igaz, hogy az alábbi három háromszög egybevágó, ugyanis két oldaluk páronként megegyezik, és az általuk bezárt szög \(\displaystyle 120^{\circ}\):

\(\displaystyle S_1PS_3 \cong S_3QS_2 \cong S_2RS_1.\)

Így \(\displaystyle S_1S_2=S_2S_3=S_3S_1\), tehát az \(\displaystyle S_1S_2S_3\) háromszög valóban szabályos. Ebből adódik a feladatban szereplő szakaszok egyenlősége.

Statistics:

98 students sent a solution.
5 points:	56 students.
4 points:	9 students.
3 points:	2 students.
2 points:	8 students.
1 point:	2 students.
0 point:	5 students.
Unfair, not evaluated:	3 solutionss.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	7 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, April 2024