A C. 1809. feladat (2024. április)

C. 1809. Legyen az $\displaystyle AC$ szakasz belső pontja $\displaystyle B$, és az $\displaystyle ABS_1$, a $\displaystyle BCS_2$ és az $\displaystyle CAS_3$ olyan egyenlő szárú háromszögek, amelyek közül semelyik kettőnek nincs közös belső pontja, és amelyeknek alapjai az $\displaystyle AB$, a $\displaystyle BC$ és az $\displaystyle CA$, és az alapon fekvő szögeik mind $\displaystyle 30^{\circ}$-osak.

Bizonyítsuk be, hogy az $\displaystyle S_1S_2S_3$ háromszög szabályos.

német versenyfeladat

(5 pont)

A beküldési határidő 2024. május 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Hosszabbítsuk meg a két kisebb háromszög oldalait a következőképp:

• $\displaystyle AS_3 \cap BS_2 = P$,
• $\displaystyle CS_3 \cap BS_1 = Q$,
• $\displaystyle AS_1 \cap CS_2 = R.$

A párhuzamosság miatt a $\displaystyle PS_{3}QB$, a $\displaystyle BS_2RS_{1}$ és az $\displaystyle AS_{3}CR$ négyszögek mindegyike paralelogramma. Ezeknek a tompaszöge mindegyik esetében $\displaystyle 120^{\circ}$. Továbbá az is igaz, hogy az $\displaystyle APS_1$ háromszög szabályos, mivel $\displaystyle AP=AS_1$, és a bezárt szögük $\displaystyle 60^{\circ}$, ugyanilyen megfontolásból szintén igaz, hogy a $\displaystyle QCS_2$ is szabályos. Ezek alapján az ábrán pirossal jelölt szögek nagysága

$\displaystyle S_{1}PS_{3} \sphericalangle = S_3QS_{2} \sphericalangle = S_2RS_{1} \sphericalangle = 120^{\circ}.$

Mindezekből következően igaz, hogy az alábbi három háromszög egybevágó, ugyanis két oldaluk páronként megegyezik, és az általuk bezárt szög $\displaystyle 120^{\circ}$:

$\displaystyle S_1PS_3 \cong S_3QS_2 \cong S_2RS_1.$

Így $\displaystyle S_1S_2=S_2S_3=S_3S_1$, tehát az $\displaystyle S_1S_2S_3$ háromszög valóban szabályos. Ebből adódik a feladatban szereplő szakaszok egyenlősége.

Statisztika:

98 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	56 versenyző.
4 pontot kapott:	9 versenyző.
3 pontot kapott:	2 versenyző.
2 pontot kapott:	8 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	5 versenyző.
Nem versenyszerű:	3 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	7 dolgozat.

A KöMaL 2024. áprilisi matematika feladatai