Problem C. 1810. (April 2024)

C. 1810. Find the real roots of equation \(\displaystyle (x+2)^6+(x^2-4x-4)^3=8x^6\).

Proposed by Bálint Bíró, Eger

(5 pont)

Deadline expired on May 10, 2024.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az egyenlet bal oldalán szereplő \(\displaystyle (x+2)^6\) kifejezést átalakítjuk:

\(\displaystyle (x+2)^6=\big((x+2)^2\big)^3=(x^2+4x+4)^3,\)

ezzel az eredeti egyenlet a következő alakú lesz:

Legyen az (1) egyenletben \(\displaystyle x^2+4x+4=a\) és \(\displaystyle x^2-4x-4=b\), ezzel a jelöléssel \(\displaystyle a+b=2x^2\), ahonnan az is látható, hogy \(\displaystyle (a+b)^3=8x^6\), tehát felírhatjuk, hogy

Mivel \(\displaystyle (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\), ezért (2)-ből azt következik, hogy \(\displaystyle 3a^2b+3ab^2=0\), szorzattá alakítás után

A (3) egyenlet megoldásai

\(\displaystyle a=0;\quad b=0; \quad a+b=0.\)

Ha \(\displaystyle a=0\), akkor \(\displaystyle x^2+4x+4=0\), ennek a másodfokú egyenletnek az \(\displaystyle x_1=-2\) az egyetlen megoldása.

Ha \(\displaystyle b=0\), akkor \(\displaystyle x^2-4x-4=0\), ennek a másodfokú egyenletnek az \(\displaystyle x_2=2+2\sqrt{2}\) és \(\displaystyle x_3=2-2\sqrt{2}\) valós számok a megoldásai.

Végül, ha \(\displaystyle a+b=0\), akkor \(\displaystyle 2x^2=0\), ennek egyetlen valós megoldása \(\displaystyle x_4=0\).

Átalakításaink ekvivalensek voltak, tehát az

\(\displaystyle x_1=-2;\quad x_2=2+2\sqrt{2};\quad x_3=2-2\sqrt{2};\quad x_4=0\)

valós számok valóban megoldásai az eredeti egyenletnek. A megoldások helyessége számítással is ellenőrizhető.

Statistics:

138 students sent a solution.
5 points:	52 students.
4 points:	25 students.
3 points:	18 students.
2 points:	6 students.
1 point:	12 students.
0 point:	14 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	5 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, April 2024