 |
A C. 1810. feladat (2024. április) |
C. 1810. Határozzuk meg az \(\displaystyle (x+2)^6+(x^2-4x-4)^3=8x^6\) egyenlet valós megoldásait.
Javasolta: Bíró Bálint (Eger)
(5 pont)
A beküldési határidő 2024. május 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Az egyenlet bal oldalán szereplő \(\displaystyle (x+2)^6\) kifejezést átalakítjuk:
\(\displaystyle (x+2)^6=\big((x+2)^2\big)^3=(x^2+4x+4)^3,\)
ezzel az eredeti egyenlet a következő alakú lesz:
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle (x^2+4x+4)^3+(x^2-4x-4)^3=8x^6.\) |
Legyen az (1) egyenletben \(\displaystyle x^2+4x+4=a\) és \(\displaystyle x^2-4x-4=b\), ezzel a jelöléssel \(\displaystyle a+b=2x^2\), ahonnan az is látható, hogy \(\displaystyle (a+b)^3=8x^6\), tehát felírhatjuk, hogy
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle a^3+b^3=(a+b)^3.\) |
Mivel \(\displaystyle (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\), ezért (2)-ből azt következik, hogy \(\displaystyle 3a^2b+3ab^2=0\), szorzattá alakítás után
| \(\displaystyle (3)\) | \(\displaystyle 3ab(a+b)=0.\) |
A (3) egyenlet megoldásai
\(\displaystyle a=0;\quad b=0; \quad a+b=0.\)
Ha \(\displaystyle a=0\), akkor \(\displaystyle x^2+4x+4=0\), ennek a másodfokú egyenletnek az \(\displaystyle x_1=-2\) az egyetlen megoldása.
Ha \(\displaystyle b=0\), akkor \(\displaystyle x^2-4x-4=0\), ennek a másodfokú egyenletnek az \(\displaystyle x_2=2+2\sqrt{2}\) és \(\displaystyle x_3=2-2\sqrt{2}\) valós számok a megoldásai.
Végül, ha \(\displaystyle a+b=0\), akkor \(\displaystyle 2x^2=0\), ennek egyetlen valós megoldása \(\displaystyle x_4=0\).
Átalakításaink ekvivalensek voltak, tehát az
\(\displaystyle x_1=-2;\quad x_2=2+2\sqrt{2};\quad x_3=2-2\sqrt{2};\quad x_4=0\)
valós számok valóban megoldásai az eredeti egyenletnek. A megoldások helyessége számítással is ellenőrizhető.
Statisztika:
138 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 52 versenyző. 4 pontot kapott: 25 versenyző. 3 pontot kapott: 18 versenyző. 2 pontot kapott: 6 versenyző. 1 pontot kapott: 12 versenyző. 0 pontot kapott: 14 versenyző. Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt: 5 dolgozat.
A KöMaL 2024. áprilisi matematika feladatai