A C. 1810. feladat (2024. április)

C. 1810. Határozzuk meg az $\displaystyle (x+2)^6+(x^2-4x-4)^3=8x^6$ egyenlet valós megoldásait.

Javasolta: Bíró Bálint (Eger)

(5 pont)

A beküldési határidő 2024. május 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Az egyenlet bal oldalán szereplő $\displaystyle (x+2)^6$ kifejezést átalakítjuk:

$\displaystyle (x+2)^6=\big((x+2)^2\big)^3=(x^2+4x+4)^3,$

ezzel az eredeti egyenlet a következő alakú lesz:

Legyen az (1) egyenletben $\displaystyle x^2+4x+4=a$ és $\displaystyle x^2-4x-4=b$, ezzel a jelöléssel $\displaystyle a+b=2x^2$, ahonnan az is látható, hogy $\displaystyle (a+b)^3=8x^6$, tehát felírhatjuk, hogy

Mivel $\displaystyle (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$, ezért (2)-ből azt következik, hogy $\displaystyle 3a^2b+3ab^2=0$, szorzattá alakítás után

A (3) egyenlet megoldásai

$\displaystyle a=0;\quad b=0; \quad a+b=0.$

Ha $\displaystyle a=0$, akkor $\displaystyle x^2+4x+4=0$, ennek a másodfokú egyenletnek az $\displaystyle x_1=-2$ az egyetlen megoldása.

Ha $\displaystyle b=0$, akkor $\displaystyle x^2-4x-4=0$, ennek a másodfokú egyenletnek az $\displaystyle x_2=2+2\sqrt{2}$ és $\displaystyle x_3=2-2\sqrt{2}$ valós számok a megoldásai.

Végül, ha $\displaystyle a+b=0$, akkor $\displaystyle 2x^2=0$, ennek egyetlen valós megoldása $\displaystyle x_4=0$.

Átalakításaink ekvivalensek voltak, tehát az

$\displaystyle x_1=-2;\quad x_2=2+2\sqrt{2};\quad x_3=2-2\sqrt{2};\quad x_4=0$

valós számok valóban megoldásai az eredeti egyenletnek. A megoldások helyessége számítással is ellenőrizhető.

Statisztika:

138 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	52 versenyző.
4 pontot kapott:	25 versenyző.
3 pontot kapott:	18 versenyző.
2 pontot kapott:	6 versenyző.
1 pontot kapott:	12 versenyző.
0 pontot kapott:	14 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	5 dolgozat.

A KöMaL 2024. áprilisi matematika feladatai