Problem C. 1811. (April 2024)

C. 1811. Let \(\displaystyle f(x)=x^2\) and \(\displaystyle g(x)=x^2-2x+2\). Find the equation of the common tangent of the graphs of these two functions.

Proposed by Csaba Sándor, Budapest

(5 pont)

Deadline expired on May 10, 2024.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

1. megoldás. Legyen az érintő egyenesének egyenlete \(\displaystyle y=mx + c\), ahol \(\displaystyle m\) a meredekséget, \(\displaystyle c\) pedig az \(\displaystyle y\) tengelymetszetet jelöli. Ekkor az \(\displaystyle f(x)=mx+c\) és a \(\displaystyle g(x)=mx+c\) egyenletek mindegyikének pontosan egy megoldása van, hiszen érintőt keresünk. Ebből az következik, hogy az \(\displaystyle x^2=mx+c\) és a \(\displaystyle x^2-2x+2=mx+c\) másodfokú egyenletek diszkriminánsa is \(\displaystyle 0\):

\(\displaystyle D_1=m^2-4 \cdot 1 \cdot (-c)=0, \text{ és } D_2= (m+2)^2-4 \cdot 1 \cdot (2-c)=0.\)

Ekkor \(\displaystyle D_1-D_2=-4m+4=0,\) amiből \(\displaystyle m=1\). Ezt behelyettesítjük \(\displaystyle D_1\)-be: \(\displaystyle D_1=1^2+4c=0,\) majd megoldjuk: \(\displaystyle c=-\frac14\).

Beláttuk, hogy a két függvénygrafikonnak egyetlen közös érintője van, melynek egyenlete: \(\displaystyle y=x-\frac14\).

2. megoldás. Először teljes négyzetté alakítjuk a \(\displaystyle g(x)\) függvény hozzárendelési szabályát: \(\displaystyle g(x)=(x-1)^2+1.\) Ebből az alakból leolvassuk, hogy a \(\displaystyle \underline{v}(1; 1)\) vektorral való eltolás viszi a parabolákat egymásba, ezért a közös érintő irányvektora is \(\displaystyle \underline{v}\), azaz meredeksége \(\displaystyle m=\frac11=1\). Az érintő egyenletét tehát az \(\displaystyle y=x+c\) alakban kell keresnünk, vagyis az \(\displaystyle x^2 = x+c\) egyenletnek pontosan egy megoldása van a valós számok halmazán. Ez pedig azt jelenti, hogy a diszkriminánsa \(\displaystyle 0\):

\(\displaystyle D=1^2-4 \cdot 1 \cdot (-c)=0, \text{ amiből } c=-\frac14.\)

Bebizonyítottuk, hogy a két függvénygrafikonnak egyetlen közös érintője van, melynek egyenlete: \(\displaystyle y=x-\frac14\).

Megjegyzés. Az érintő meredekségéhez deriváláson keresztül is eljuthatunk.

Statistics:

70 students sent a solution.
5 points:	Baksa Anna, Balogh Péter, Barna Márton, Beke Botond, Bencze Mátyás, Bérczes Botond, Bettesch Emma Léda, Biborka Bernadett, Braun Zsófia, Csáki Botond Benjámin, Csiszár András, Csordás Péter, Dancsák Dénes, Dede Fanni, Ehrlich Máté, Erdei Szilas Dániel, Fercsák Flórián, Gerencsér László, Gyuricsek Ákos, Hajdú Ábel, Inokai Ádám, Iván Máté Domonkos, Kincses Hanna Blanka, Király Áron, Locher Péter, Ludányi Léna, Márfai Dóra, Masa Barnabás, Miliczki Lilla, Monoczki Máté, Nagy 292 Korina, Nagy Emma Dorottya, Palásthy Bánk, Pánovics Máté, Peiker Flóra, Polyányi Lora Molli, Pónus Marcell, Puskás Péter, Raffay Gergely, Sándor Botond, Simon Bálint, Somogyi Dóra, Szabó Donát, Török Eszter Júlia, Varga Panna, Viczián Márk, Visontai Viktor, Wodala Gréta Klára, Žigo Boglárka.
4 points:	2 students.
3 points:	2 students.
2 points:	2 students.
1 point:	4 students.
0 point:	8 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, April 2024