A C. 1812. feladat (2024. április)

C. 1812. Legyenek egy háromszög oldalhosszai $\displaystyle a$, $\displaystyle b$, $\displaystyle c$, amelyekre teljesül, hogy $\displaystyle a+b=3c$. Az $\displaystyle a$, illetve $\displaystyle b$ oldalakkal szemközti szögek $\displaystyle \alpha$, illetve $\displaystyle \beta$. Bizonyítsuk be, hogy $\displaystyle \ctg{\frac{\alpha}{2}}\cdot{\ctg{\frac{\beta}{2}}}=2.$

horvát versenyfeladat

(5 pont)

A beküldési határidő 2024. május 10-én LEJÁRT.

1. megoldás. A feladatbeli háromszög létezik, ha az $\displaystyle a$, $\displaystyle b$, $\displaystyle c$ oldalakra teljesül a háromszög-egyenlőtlenség. Ez fennáll, ha a pozitív $\displaystyle a$, $\displaystyle b$, $\displaystyle c$ számokra igaz, hogy

$\displaystyle a+b>c,\quad a+c>b,\quad b+c>a.$

Az $\displaystyle a+b=3c$ feltétel miatt $\displaystyle a+b>c$ nyilván teljesül, a második egyenlőtlenség pontosan akkor, ha $\displaystyle a+b+c>2b$, ebből a feltétel alapján $\displaystyle 2c>b$ következik. A harmadik egyenlőtlenségből hasonlóan adódik, hogy $\displaystyle 2c>a$ esetben áll fenn.

Ha tehát az $\displaystyle a$, $\displaystyle b$, $\displaystyle c$ pozitív számokra érvényes, hogy

$\displaystyle 2c>a,\quad 2c>b,\quad a+b=3c,$

akkor a feladatbeli háromszög létezik. Ilyen számok például

$\displaystyle a=11,~ b=10, ~c=7;\quad a=9, ~b=6,~ c=5;\quad a=4, ~b=5, ~c=3.$

Legyen a feltételeknek megfelelő $\displaystyle ABC$ háromszög $\displaystyle r$ sugarú beírt körének középpontja $\displaystyle K$, a beírt körnek az $\displaystyle AB$ oldalon levő érintési pontja $\displaystyle E$.

A háromszög kerülete a feltétel szerint $\displaystyle a+b+c=4c$, ezért az $\displaystyle s$ félkerület

A háromszög területe kétféleképpen is felírható, a Héron-képlet szerint $\displaystyle \displaystyle{T=\sqrt{s\cdot(s-a)\cdot(s-b)\cdot(s-c)}},$ a félkerülettel és a beírt kör sugarával $\displaystyle T=s\cdot r$, ezért

A (2) egyenletből négyzetre emelés és rendezés után azt kapjuk, hogy

Ismert, hogy a háromszög $\displaystyle A$, illetve $\displaystyle B$ csúcsából a beírt körnek az oldalakon levő érintési pontjaihoz húzott szakaszok hossza $\displaystyle s-a$, illetve $\displaystyle s-b$, így az ábrán látható $\displaystyle AE$, $\displaystyle BE$ szakaszokra $\displaystyle AE=s-a,\quad BE=s-b$. Ebből következik, hogy az $\displaystyle AKE$ és $\displaystyle BKE$ derékszögű háromszögekben $\displaystyle \displaystyle{\ctg{\frac{\alpha}{2}}\cdot{\ctg{\frac{\beta}{2}}}=\frac{AE}{r}\cdot\frac{BE}{r}}$, ezért $\displaystyle \displaystyle{\ctg{\frac{\alpha}{2}}\cdot{\ctg{\frac{\beta}{2}}}=\frac{s-a}{r}\cdot\frac{s-b}{r}}$, ebből pedig (3) alapján

$\displaystyle \displaystyle{\ctg{\frac{\alpha}{2}}\cdot\ctg{\frac{\beta}{2}}=\frac{s}{s-c}},$

innen pedig (1) szerint adódik, hogy

$\displaystyle \displaystyle{\ctg{\frac{\alpha}{2}}\cdot\ctg{\frac{\beta}{2}}=\frac{2c}{c}=2}.$

2. megoldás. A feltételeknek megfelelő háromszög létezésére vonatkozó megállapításaink azonosak az 1. megoldásban leírtakkal.

Használjuk fel ezután az

$\displaystyle a=2R\sin\alpha,\quad b=2R\sin\beta,\quad c=2R\sin\gamma$

összefüggéseket, ahol $\displaystyle R$ a háromszög körülírt körének sugara. Az $\displaystyle a+b=3c$ összefüggés alapján ebből adódik, hogy $\displaystyle \sin\alpha+\sin\beta=3\sin\gamma$, illetve a $\displaystyle \sin\gamma=\sin(180^{\circ}-\alpha-\beta)=\sin(\alpha+\beta)$ szerint

A $\displaystyle \displaystyle{\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cdot\cos\frac{\alpha-\beta}{2}}$ és a $\displaystyle \displaystyle{\sin(\alpha+\beta)=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cdot\cos\frac{\alpha+\beta}{2}}$ azonosságok szerint (4)-ből adódik, hogy

$\displaystyle \displaystyle{2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cdot\cos\frac{\alpha-\beta}{2}=3\cdot2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cdot\cos\frac{\alpha+\beta}{2}},$

ahonnan a $\displaystyle \displaystyle{2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\neq{0}}$ kifejezéssel osztva kapjuk, hogy $\displaystyle \displaystyle{\cos\frac{\alpha-\beta}{2}=3\cos\frac{\alpha+\beta}{2}}$, innen pedig átrendezéssel

Az (5) összefüggésben alkalmazzuk az $\displaystyle \displaystyle{\frac{\alpha}{2}}$, $\displaystyle \displaystyle{\frac{\beta}{2}}$ szögekre a megfelelő trigonometrikus addíciós tételeket:

$\displaystyle \displaystyle{2\Bigg(\cos\frac{\alpha}{2}\cdot\cos\frac{\beta}{2}-\sin\frac{\alpha}{2}\cdot\sin\frac{\beta}{2}\Bigg)=2\sin\frac{\alpha}{2}\cdot\sin\frac{\beta}{2}}.$

Ebből egyszerűsítéssel és rendezéssel kapjuk, hogy

Az $\displaystyle \alpha$ és $\displaystyle \beta$ egy háromszög szögei, ezért $\displaystyle \displaystyle{\frac{\alpha}{2}}$ és $\displaystyle \displaystyle{\frac{\beta}{2}}$ hegyesszögek, tehát (6) jobb oldalának egyik tényezője sem nulla, vagyis

$\displaystyle \ctg{\frac{\alpha}{2}}\cdot{\ctg{\frac{\beta}{2}}}=2,$

és éppen ezt akartuk bizonyítani.

Statisztika:

26 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Balogh Péter, Braun Zsófia, Dancsák Dénes, Gyuricsek Ákos, Inokai Ádám, Iván Máté Domonkos, Pánovics Máté, Szabó Donát, Viczián Márk, Žigo Boglárka.
4 pontot kapott:	Baksa Anna, Bencze Mátyás, Hajdú Ábel, Locher Péter, Márfai Dóra, Papp Zsófia, Simon Bálint, Török Eszter Júlia, Wodala Gréta Klára.
3 pontot kapott:	1 versenyző.
2 pontot kapott:	3 versenyző.

A KöMaL 2024. áprilisi matematika feladatai