Problem C. 1813. (May 2024)

C. 1813. Prove that there exist no positive integers \(\displaystyle m\) and \(\displaystyle n\), for which \(\displaystyle 3^{m}+3^{n}+1\) is a perfect square.

USA competition problem

(5 pont)

Deadline expired on June 10, 2024.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az állítást indirekt módon bizonyítjuk. Tegyük fel, hogy létezik egy \(\displaystyle k\) pozitív egész szám, amelyre

\(\displaystyle 3^{m}+3^{n}+1=k^2.\)

Nyilvánvaló, hogy a bal oldalon három páratlan szám összege páratlan, ezért \(\displaystyle k^2\) is páratlan kell hogy legyen, amiből következően \(\displaystyle k\) biztosan páratlan. Ekkor az egyenlet mindkét oldalából kivonunk \(\displaystyle 1\)-et, majd a jobb oldalt szorzattá alakítjuk:

\(\displaystyle 3^{m}+3^{n}=k^2-1=(k-1)(k+1).\)

Mivel \(\displaystyle k\) páratlan, ezért \(\displaystyle k-1\) és \(\displaystyle k+1\) két egymást követő páros szám, tehát az egyik \(\displaystyle 4\)-gyel is osztható, vagyis szorzatuk \(\displaystyle 2 \cdot 4=8\)-cal is osztható.

Most már csak az egyenlet bal oldalának \(\displaystyle 8\)-cal való osztási maradékát kell megvizsgálnunk. A \(\displaystyle 3\) pozitív egész kitevőjű hatványai \(\displaystyle 8\)-cal osztva \(\displaystyle 1\) vagy \(\displaystyle 3\) maradékot adnak, így két ilyen hatvány összege, azaz a \(\displaystyle 3^{m}+3^{n}\) csak \(\displaystyle 1+1=2\), vagy \(\displaystyle 1+3=4\), vagy \(\displaystyle 3+3=6\) maradékot adhat \(\displaystyle 8\)-cal osztva, azaz nem lehet egyenlő egy \(\displaystyle 8\)-cal osztható számmal.

Ellentmondásra jutottunk, tehát az indirekt feltevésünk hamis, azaz beláttuk a feladat állítását.

Statistics:

77 students sent a solution.
5 points:	Aaishipragya Kahaly, Balogh Péter, Barna Márton, Bartusková Viktória, Beinschroth Máté, Braun Zsófia, Budai Máté, Danka Emma, Domján István, Gyuricsek Ákos, Hajdú Ábel, Halmosi Dávid, Hetyei Dániel, Horvath Benedek, Horváth Imre, Inokai Ádám, Iván Máté Domonkos, Kapiller Ákos Péter, Kincses Hanna Blanka, Kószó Ferenc, Kővágó Edit Gréta, Kulcsár Anna Zita, Márfai Dóra, Masa Barnabás, Mizsei Márton, Molnár Lili, Molnár-Sáska Tamás, Nagy 292 Korina, Nelissen Sámuel Zalán, Pánovics Máté, Pázmándi József Áron, Pázmándi Renáta , Simon Bálint, Sipos Márton, Somogyi Dóra, Szabó Donát, Székely Márton, Tóth 207 Bence, Tóth Ágoston, Tóth Luca, Tóth Marcell Domonkos, Török Eszter Júlia, Válek Péter, Viczián Márk, Volford Barnabás, Wodala Gréta Klára, Žigo Boglárka.
4 points:	6 students.
3 points:	4 students.
2 points:	1 student.
1 point:	3 students.
0 point:	5 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	5 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, May 2024