 |
A C. 1813. feladat (2024. május) |
C. 1813. Mutassuk meg, hogy nincsenek olyan \(\displaystyle m\), \(\displaystyle n\) pozitív egész számok, amelyekre
\(\displaystyle 3^{m}+3^{n}+1 \)
teljes négyzet.
amerikai versenyfeladat
(5 pont)
A beküldési határidő 2024. június 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Az állítást indirekt módon bizonyítjuk. Tegyük fel, hogy létezik egy \(\displaystyle k\) pozitív egész szám, amelyre
\(\displaystyle 3^{m}+3^{n}+1=k^2.\)
Nyilvánvaló, hogy a bal oldalon három páratlan szám összege páratlan, ezért \(\displaystyle k^2\) is páratlan kell hogy legyen, amiből következően \(\displaystyle k\) biztosan páratlan. Ekkor az egyenlet mindkét oldalából kivonunk \(\displaystyle 1\)-et, majd a jobb oldalt szorzattá alakítjuk:
\(\displaystyle 3^{m}+3^{n}=k^2-1=(k-1)(k+1).\)
Mivel \(\displaystyle k\) páratlan, ezért \(\displaystyle k-1\) és \(\displaystyle k+1\) két egymást követő páros szám, tehát az egyik \(\displaystyle 4\)-gyel is osztható, vagyis szorzatuk \(\displaystyle 2 \cdot 4=8\)-cal is osztható.
Most már csak az egyenlet bal oldalának \(\displaystyle 8\)-cal való osztási maradékát kell megvizsgálnunk. A \(\displaystyle 3\) pozitív egész kitevőjű hatványai \(\displaystyle 8\)-cal osztva \(\displaystyle 1\) vagy \(\displaystyle 3\) maradékot adnak, így két ilyen hatvány összege, azaz a \(\displaystyle 3^{m}+3^{n}\) csak \(\displaystyle 1+1=2\), vagy \(\displaystyle 1+3=4\), vagy \(\displaystyle 3+3=6\) maradékot adhat \(\displaystyle 8\)-cal osztva, azaz nem lehet egyenlő egy \(\displaystyle 8\)-cal osztható számmal.
Ellentmondásra jutottunk, tehát az indirekt feltevésünk hamis, azaz beláttuk a feladat állítását.
Statisztika:
A KöMaL 2024. májusi matematika feladatai