Problem C. 1815. (May 2024)
C. 1815. Solve the following system of equations for natural numbers \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\), \(\displaystyle z\) and \(\displaystyle u\): \(\displaystyle x^2y-zu^2=6\), \(\displaystyle x^2z+yu^2=11\).
Based on an idea of Sándor Katz, Bonyhád
(5 pont)
Deadline expired on June 10, 2024.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Emeljük négyzetre az egyenletek mindkét oldalát:
\(\displaystyle x^4y^2-2x^2yzu^2+z^2u^4=36,\)
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle x^4z^2+2x^2zyu^2+y^2u^4=121.\) |
Az (1) egyenletrendszer megfelelő oldalainak összeadásával és kiemeléssel először azt kapjuk, hogy \(\displaystyle x^4\cdot(y^2+z^2)+u^4\cdot(y^2+z^2)=157\), innen pedig \(\displaystyle y^2+z^2\) kiemelésével
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle (x^4+u^4)\cdot(y^2+z^2)=157.\) |
Mivel (2) jobb oldala pozitív, ezért a bal oldal mindkét zárójeles tényezője is pozitív.
A \(\displaystyle 157\) továbbá prímszám, ezért a bal oldal egyik zárójeles kifejezésének értéke \(\displaystyle 1\), a másiké pedig \(\displaystyle 157\).
A \(\displaystyle 157\) nem állítható elő két természetes szám negyedik hatványának összegeként, hiszen ha \(\displaystyle x^4=1\), akkor \(\displaystyle u^4=156\), de \(\displaystyle 156\) nem negyedik hatvány; ha \(\displaystyle x^4=16\), akkor \(\displaystyle u^4=141\), de \(\displaystyle 141\) sem negyedik hatvány; ha pedig \(\displaystyle x^4=81\), akkor \(\displaystyle u^4=76\), viszont \(\displaystyle 76\) sem negyedik hatvány.
Végül pedig az \(\displaystyle x=4\)-re adódó \(\displaystyle x^4=256\) már nyilván nem fordulhat elő, hiszen ekkor \(\displaystyle u^4<0\).
Mindezek alapján csak
| \(\displaystyle (3)\) | \(\displaystyle x^4+u^4=1,\) |
és
| \(\displaystyle (4)\) | \(\displaystyle y^2+z^2=157\) |
lehetséges.
A (3) egyenlet csakis úgy állhat fenn, ha \(\displaystyle x^4=1\) és \(\displaystyle u^4=0\), vagy \(\displaystyle x^4=0\) és \(\displaystyle u^4=1\).
Eszerint \(\displaystyle x=1; u=0\), vagy \(\displaystyle x=0; u=1\) lehetséges.
Egyszerű számolással ellenőrizhető, hogy a (4) egyenlet csakis úgy teljesülhet, vagyis \(\displaystyle 157\) csak úgy állítható elő két négyzetszám összegeként, ha \(\displaystyle y^2=36; z^2=121\), vagy \(\displaystyle y^2=121; z^2=36\), ezért csakis \(\displaystyle y=6; z=11\) vagy \(\displaystyle y=11; z=6\) állhat fenn.
Ezért a lehetséges megoldások a következők:
\(\displaystyle x=1; y=6; z=11, u=0,\)
\(\displaystyle x=1; y=11; z=6, u=0,\)
\(\displaystyle x=0; y=6; z=11, u=1,\)
vagy
\(\displaystyle x=0; y=11; z=6, u=1.\)
A megoldás során a négyzetreemeléssel az egyenletrendszer megoldásainak halmazát csak bővíthettük. Ezért behelyettesítéssel ellenőrzést végezve azt kapjuk, hogy a négy megoldás közül csak az \(\displaystyle x=1; y=6; z=11, u=0\) természetes számokból álló számnégyes elégíti ki az eredeti egyenletrendszer mindkét egyenletét, ez a feladat egyetlen megoldása.
Statistics:
84 students sent a solution. 5 points: Auer Sára, Balogh Péter, Barna 201 Krisztina, Beinschroth Máté, Bencze Mátyás, Blaskovics Ádám, Braun Zsófia, Budai Máté, Danka Emma, Domján István, Halmosi Dávid, Horvath Benedek, Horváth Imre, Inokai Ádám, Iván Máté Domonkos, Kókai Ákos, Komlósdi Sára, Kószó Ferenc, Kővágó Edit Gréta, Márfai Dóra, Mateas Isabelle, Mikó Hédi Irma, Molnár Lili, Monoczki Máté, Nagy 292 Korina, Németh Ábel, Pázmándi József Áron, Pázmándi Renáta , Raffay Gergely, Simon Bálint, Szabó Donát, Tóth 207 Bence, Török Eszter Júlia, Viczián Márk, Volford Barnabás, Wodala Gréta Klára, Žigo Boglárka. 4 points: Baksa Anna, Gerencsér László, Hollósi Dominik, Kulcsár Anna Zita, Kun Petra, Molnár-Sáska Tamás, Pánovics Máté, Sipos Márton. 3 points: 7 students. 2 points: 12 students. 1 point: 7 students. 0 point: 4 students. Not shown because of missing birth date or parental permission: 3 solutions.
Problems in Mathematics of KöMaL, May 2024