Problem C. 1817. (May 2024)
C. 1817. We have tossed a coin several times. The sequence of results turned out to be one head, one tail, one head, two tails, one head, three tails, and so on (each time the lengths of the contiguous segments of tails increase by one separated by a single head). Assuming this regularity, after how many tosses will the relative frequency of the heads be exactly \(\displaystyle \frac{1}{2023}\)?
(Proposed by Mátyás Barczy, Gábor Nyul, Debrecen)
(5 pont)
Deadline expired on June 10, 2024.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. A megoldás során tetszőleges \(\displaystyle n\) pozitív egész szám esetén az \(\displaystyle n\)-edik blokk alatt az \(\displaystyle n\)-edik fejjel kezdődő és az azt követő \(\displaystyle n\) darab írásból álló dobássorozatot értjük:
\(\displaystyle \underset{1. \text{ blokk}}{\underbrace{F,I},} \overset{2. \text{ blokk}}{\overbrace{F,I,I},} \underset{3. \text{ blokk}}{\underbrace{F,I,I,I},} \overset{4. \text{ blokk}}{\overbrace{F,I,I,I,I},} \ldots \overset{n-1. \text{ blokk}}{\overbrace{F, I, \ldots I,I},}\underset{n. \text{ blokk}}{\underbrace{F, \overset{n \text{ darab}}{\overbrace{I, \ldots I,I}}},} \ldots\)
\(\displaystyle (1)\) Az \(\displaystyle n\)-edik blokk első dobását követően a fejek száma \(\displaystyle n\), az írások száma
\(\displaystyle 1+\ldots+(n-1)=\frac{(n-1)n}{2},\)
így ekkor a fejek relatív gyakorisága
\(\displaystyle \frac{n}{n+\frac{(n-1)n}{2}}=\frac{2}{n+1}.\)
\(\displaystyle (2)\) Az \(\displaystyle n\)-edik blokk utolsó dobását követően a fejek száma \(\displaystyle n\), az írások száma \(\displaystyle 1+\ldots+n=\frac{n(n+1)}{2}\), így ekkor a fejek relatív gyakorisága
\(\displaystyle \frac{n}{n+\frac{n(n+1)}{2}}=\frac{2}{n+3}.\)
\(\displaystyle (3)\) Ha felírjuk az \(\displaystyle n\)-edik blokk minden egyes dobását követően a fejek relatív gyakoriságát, akkor egy szigorúan monoton csökkenő (véges) sorozatot kapunk, hiszen a blokk második dobásától kezdődően minden dobás eredménye írás.
A fenti észrevételek alapján az \(\displaystyle n\)-edik blokkba tartozó valamely dobást követően a fejek relatív gyakorisága csak akkor lehet \(\displaystyle \displaystyle{\frac{1}{2023}}\), ha teljesül, hogy
\(\displaystyle \frac{2}{n+1}\geq\frac{1}{2023}\geq\frac{2}{n+3},\)
azaz \(\displaystyle 4043\leq n\leq 4045\), és mindhárom szóba jöhető blokk esetén legfeljebb egy olyan dobás lehet, amely után \(\displaystyle \displaystyle{\frac{1}{2023}}\) a fejek relatív gyakorisága \(\displaystyle (3)\) miatt.
Ha \(\displaystyle n=4043\), akkor a \(\displaystyle (2)\) észrevétel szerint a \(\displaystyle 4043\). blokk utolsó (azaz \(\displaystyle 4044\).) dobását követően a fejek relatív gyakorisága \(\displaystyle \displaystyle{\frac{2}{4043+3}=\frac{1}{2023}}\), és ekkor a dobások száma
\(\displaystyle 4043+\frac{4043\cdot 4044}{2}=4043 \cdot 2023=8\,178\,989.\)
Ha \(\displaystyle n=4044\), akkor a fejek aránya nem változik az előző megoldáshoz képest, ha a \(\displaystyle 4044\). blokkból \(\displaystyle 1\) fejet és még \(\displaystyle 2022\) írást dobunk, vagyis összesen \(\displaystyle 1+2022=2023\) darab dobást elvégzünk. Tehát jó megoldást kapunk, ha a dobások száma
\(\displaystyle 4043 \cdot 2023+2023=4044 \cdot 2023= 8\,181\,012.\)
Ha \(\displaystyle n=4045\), akkor a fejek aránya nem változik az előző megoldáshoz képest, ha a \(\displaystyle 4044\). blokkban megmaradt \(\displaystyle 2022\) írást és a \(\displaystyle 4045.\) blokk első dobását hozzávesszük, vagyis még \(\displaystyle 2022+1=2023\) dobást elvégzünk. Ezért szintén jó megoldást kapunk, ha a dobások száma
\(\displaystyle 4044 \cdot 2023 +2023= 4045 \cdot 2023=8\,183\,035.\)
Beláttuk, hogy más megoldás nincs, azaz \(\displaystyle 4043\)-szor, \(\displaystyle 4044\)-szer, vagy \(\displaystyle 4045\)-ször \(\displaystyle 2023\) dobás után kell abbahagynunk a dobálást, hogy a feladat feltételei teljesüljenek. Összefoglalva: a \(\displaystyle 8\,178\,989\)., a \(\displaystyle 8\,181\,012\). és a \(\displaystyle 8\,183\,035\). dobásokat követően lesz a fejek relatív gyakorisága \(\displaystyle \displaystyle{\frac{1}{2023}}\).
Statistics:
40 students sent a solution. 5 points: Barna Márton, Biborka Bernadett, Inokai Ádám, Iván Máté Domonkos, Somogyi Dóra, Szabó Donát, Török Eszter Júlia. 3 points: 9 students. 2 points: 15 students. 0 point: 5 students.
Problems in Mathematics of KöMaL, May 2024