A C. 1818. feladat (2024. szeptember)

C. 1818. Hány olyan egész számokból álló számötös van, amelyre a

$\displaystyle \textit{k} \cdot \textit{ö}\cdot \textit{m}\cdot \textit{a}\cdot \textit{l}=-130$

egyenlőség teljesül, ha a számok sorrendje is számít?

Javasolta: Kozma Katalin Abigél, Győr

(5 pont)

A beküldési határidő 2024. október 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A $\displaystyle 130$-at prímtényezőkre bontjuk: $\displaystyle 130=2 \cdot 5 \cdot 13$. A számelmélet alaptétele miatt a $\displaystyle k; \ddot o; m; a; l$ számokban is csak ezek a prímtényezők szerepelhetnek. Látjuk, hogy mindhárom prímtényező egyszer szerepel a felbontásban. Állítsuk elő ezekből a $\displaystyle k; \ddot o; m; a; l$ számokat! A $\displaystyle k; \ddot o; m; a; l$ bármelyikének prímtényezőjeként szerepelhet a három prímtényező bármelyike, így $\displaystyle 5^3=125$ külön­böző lehetőséget kapunk. Amelyik betűhöz nem választunk ki egy prímtényezőt sem, annak értéke $\displaystyle 1$, ily módon $\displaystyle 125$ olyan számötöst kapunk, amelyek szorzata $\displaystyle 130$. Most megvizsgáljuk az előjeleket. Ha az első négy szám szorzata pozitív– azaz nincs köztük negatív, vagy két negatív van köztük, vagy mind a négy negatív – akkor az ötödik szám negatív kell hogy legyen, hiszen az öt szám szorzata negatív. Ha pedig az első négy szám szorzata negatív – azaz közülük egy vagy három negatív – akkor az öt szám szorzata csak úgy lehet negatív, ha az ötödik szám pozitív. A fentiek alapján tehát az első négy szám előjelét tetszőlegesen választhatjuk, ekkor azonban az ötödik szám előjele egyértelműen meghatározott, vagyis az előjeleket $\displaystyle 2^4=16$-féleképpen választhatjuk meg. A prímtényezőket és az előjeleket egymástól függetlenül választjuk ki, ezért a feladat összes feltételének megfelelő számötösből $\displaystyle 125 \cdot 16=2000$ darab van.

Statisztika:

305 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	108 versenyző.
4 pontot kapott:	18 versenyző.
3 pontot kapott:	23 versenyző.
2 pontot kapott:	78 versenyző.
1 pontot kapott:	30 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem versenyszerű:	4 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	30 dolgozat.

A KöMaL 2024. szeptemberi matematika feladatai