A C. 1820. feladat (2024. szeptember)

C. 1820. Bizonyítsuk be, hogy ha $\displaystyle a$, $\displaystyle b$, $\displaystyle c>0$ és $\displaystyle a+b+c=1$, akkor

$\displaystyle a)$ $\displaystyle \displaystyle{\frac{1-a^2}{b+c}+\frac{1-b^2}{c+a}+\frac{1-c^2}{a+b}=4}$,

$\displaystyle b)$ $\displaystyle \displaystyle{\frac{1-a^3}{b+c}+\frac{1-b^3}{c+a}+\frac{1-c^3}{a+b}\geq \frac{13}{3}}$.

Javasolta: Bencze Mihály, Brassó

(5 pont)

A beküldési határidő 2024. október 10-én LEJÁRT.

Megoldás. $\displaystyle a)$ A bizonyítandó egyenlőség bal oldalán szereplő törtek nevezői a feltétel miatt pozitívak, számlálói pedig szorzattá alakíthatók:

Mivel $\displaystyle a+b+c=1$, ezért

$\displaystyle 1-a=b+c;\quad 1-b=c+a; \quad 1-c=a+b,$

ezért (1) a következőképpen is írható:

$\displaystyle \displaystyle{\frac{(b+c)(1+a)}{b+c}+\frac{(c+a)(1+b)}{c+a}+\frac{(a+b)(1+c)}{a+b}},$

egyszerűsítés után a bal oldal értéke

$\displaystyle (1+a)+(1+b)+(1+c),$

ebből pedig $\displaystyle a+b+c=1$ alapján az következik, hogy a bal oldali törtek összege $\displaystyle 4$, és éppen ezt akartuk bizonyítani.

$\displaystyle b)$ Az $\displaystyle 1-a^3$, $\displaystyle 1-b^3$, $\displaystyle 1-c^3$ kifejezések szorzattá alakíthatók:

$\displaystyle \displaystyle{1-a^3=(1-a)(1+a+a^2);\quad 1-b^3=(1-b)(1+b+b^2);\quad 1-c^3=(1-c)(1+c+c^2)},$

ezért a bizonyítandó egyenlőtlenség bal oldalán

$\displaystyle \displaystyle{S=\frac{(1-a)(1+a+a^2)}{b+c}+\frac{(1-b)(1+b+b^2)}{c+a}+\frac{(1-c)(1+c+c^2)}{a+b}}$

áll.

Ebből

$\displaystyle 1-a=b+c;\quad 1-b=c+a;\quad 1-c=a+b$

felhasználásával azt kapjuk, hogy a bal oldal:

A (2) összefüggésből $\displaystyle a+b+c=1$ szerint az következik, hogy

Alkalmazzuk a pozitív $\displaystyle a,b,c$ számokra a négyzetes és számtani közép közötti egyenlőtlenséget: $\displaystyle \displaystyle{\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}}\geq \frac{a+b+c}{3}},$ tehát

$\displaystyle \displaystyle{\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}}\geq \frac{1}{3}},$

innen pedig négyzetre emeléssel és rendezéssel kapjuk, hogy

A (3) és (4) összefüggések összevetésével adódik, hogy

$\displaystyle \displaystyle{S=4+a^2+b^2+c^2\geq 4+\frac{1}{3}=\frac{13}{3}},$

és ezt kellett bizonyítanunk.

Egyenlőség pontosan akkor van, ha a négyzetes és a számtani közép közötti egyenlőtlenségben az egyenlőség esete áll fenn, vagyis, ha $\displaystyle \displaystyle{a=b=c=\frac{1}{3}}$.

Statisztika:

265 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	99 versenyző.
4 pontot kapott:	12 versenyző.
3 pontot kapott:	82 versenyző.
2 pontot kapott:	27 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	26 dolgozat.

A KöMaL 2024. szeptemberi matematika feladatai