A C. 1821. feladat (2024. szeptember)

C. 1821. Gyula és Gil egy szabályos dobókockával játszik. Ha a dobás eredménye összetett szám, akkor Gil kap egy pontot, egyébként pedig Gyula kap egy pontot. Amikor valamelyikük eléri a hat pontot, a játék befejeződik. Mekkora a valószínűsége, hogy valamelyikük javára éppen $\displaystyle 6:3$ lesz a végeredmény?

Javasolta: Kozma Katalin Abigél, Győr

(5 pont)

A beküldési határidő 2024. október 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A szabályos dobókockán szereplő számok közül a $\displaystyle 4$ és a $\displaystyle 6$ összetett, így egyszer dobva a kockával $\displaystyle \displaystyle{\frac{2}{6}=\frac13}$ valószínűséggel dobunk összetett, míg $\displaystyle \displaystyle{\frac{4}{6}=\frac23}$ valószínűséggel dobunk nem összetett számot ($\displaystyle 1$-et vagy prímszámot). Mielőtt a $\displaystyle 6:3$-as végeredmény kialakul, az állás biztosan $\displaystyle 5:3$ valamelyik játékos javára. Ez azt jelenti, hogy az addig lezajlott $\displaystyle 8$ dobás eredménye pontosan $\displaystyle 5$ összetett szám, és $\displaystyle 3$ nem összetett szám lett, vagy fordítva. Majd a $\displaystyle 9$. dobás éppen olyan, amelyikből előtte $\displaystyle 5$ darab már volt. Így a keresett valószínűség:

$\displaystyle p=\binom{8}{3}\cdot \bigg(\frac13 \bigg)^3 \cdot \bigg(\frac23 \bigg)^5 \cdot \frac23+ \binom{8}{3}\cdot \bigg(\frac23 \bigg)^3 \cdot \bigg( \frac13 \bigg)^5 \cdot \frac13 =\frac{4032}{19683}=\frac{448}{2187} \approx 0,\!2048.$

Statisztika:

68 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Balogh Bendegúz, Balogh Péter, Bán Kincső Panni, Barna 201 Krisztina, Barna Márton, Bartók Márton, Bartusková Viktória, Bencze Mátyás, Bozsó Bercel, Budai Máté, Földi Albert, Galambos Réka Boglárka, Hodossy-Takács Ráhel, Iván Máté Domonkos, Király Zsuzsanna , Koháry Levente, Kókai Ákos, Krüpl Boglárka, Magura Anna Luca, Masa Barnabás, Molnár Lili, Pánovics Máté, Pink István, Rózsa Zsombor, Tóth 207 Bence, Wodala Gréta Klára.
4 pontot kapott:	Albert Luca Liliána, Fercsák Flórián, Móricz Zsombor.
3 pontot kapott:	16 versenyző.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	12 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	2 dolgozat.

A KöMaL 2024. szeptemberi matematika feladatai