 |
A C. 1821. feladat (2024. szeptember) |
C. 1821. Gyula és Gil egy szabályos dobókockával játszik. Ha a dobás eredménye összetett szám, akkor Gil kap egy pontot, egyébként pedig Gyula kap egy pontot. Amikor valamelyikük eléri a hat pontot, a játék befejeződik. Mekkora a valószínűsége, hogy valamelyikük javára éppen \(\displaystyle 6:3\) lesz a végeredmény?
Javasolta: Kozma Katalin Abigél, Győr
(5 pont)
A beküldési határidő 2024. október 10-én LEJÁRT.
Megoldás. A szabályos dobókockán szereplő számok közül a \(\displaystyle 4\) és a \(\displaystyle 6\) összetett, így egyszer dobva a kockával \(\displaystyle \displaystyle{\frac{2}{6}=\frac13}\) valószínűséggel dobunk összetett, míg \(\displaystyle \displaystyle{\frac{4}{6}=\frac23}\) valószínűséggel dobunk nem összetett számot (\(\displaystyle 1\)-et vagy prímszámot). Mielőtt a \(\displaystyle 6:3\)-as végeredmény kialakul, az állás biztosan \(\displaystyle 5:3\) valamelyik játékos javára. Ez azt jelenti, hogy az addig lezajlott \(\displaystyle 8\) dobás eredménye pontosan \(\displaystyle 5\) összetett szám, és \(\displaystyle 3\) nem összetett szám lett, vagy fordítva. Majd a \(\displaystyle 9\). dobás éppen olyan, amelyikből előtte \(\displaystyle 5\) darab már volt. Így a keresett valószínűség:
\(\displaystyle p=\binom{8}{3}\cdot \bigg(\frac13 \bigg)^3 \cdot \bigg(\frac23 \bigg)^5 \cdot \frac23+ \binom{8}{3}\cdot \bigg(\frac23 \bigg)^3 \cdot \bigg( \frac13 \bigg)^5 \cdot \frac13 =\frac{4032}{19683}=\frac{448}{2187} \approx 0,\!2048.\)
Statisztika:
68 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Balogh Bendegúz, Balogh Péter, Bán Kincső Panni, Barna 201 Krisztina, Barna Márton, Bartók Márton, Bartusková Viktória, Bencze Mátyás, Bozsó Bercel, Budai Máté, Földi Albert, Galambos Réka Boglárka, Hodossy-Takács Ráhel, Iván Máté Domonkos, Király Zsuzsanna , Koháry Levente, Kókai Ákos, Krüpl Boglárka, Magura Anna Luca, Masa Barnabás, Molnár Lili, Pánovics Máté, Pink István, Rózsa Zsombor, Tóth 207 Bence, Wodala Gréta Klára. 4 pontot kapott: Albert Luca Liliána, Fercsák Flórián, Móricz Zsombor. 3 pontot kapott: 16 versenyző. 2 pontot kapott: 2 versenyző. 1 pontot kapott: 12 versenyző. 0 pontot kapott: 3 versenyző. Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt: 2 dolgozat.
A KöMaL 2024. szeptemberi matematika feladatai