A C. 1823. feladat (2024. október)

C. 1823. Okos Pali kiment egyszer a piacra, hogy ott eladjon $\displaystyle 30$ darab almát. Úgy tervezte, hogy három almáért egy krajcárt fog kérni, vagyis összesen $\displaystyle 10$ krajcár bevételre számított. A piacon találkozott egy emberrel, aki ugyancsak almát árult. Ennek az embernek is $\displaystyle 30$ eladó almája volt, de ő egy krajcárért csak két almát adott, vagyis összesen $\displaystyle 15$ krajcár bevételt remélt. Okos Pali megunta a piaci nyüzsgést, átadta a maga $\displaystyle 30$ almáját az embernek azzal, hogy adja el azokat is, mégpedig úgy, hogy öt alma ára legyen két krajcár, és azt mondta, hogy a maga bevételéért később visszajön.

$\displaystyle a)$ Ha ez az ember Pali gondolatát elfogadva mind a $\displaystyle 60$ almát eladta és a saját maga által tervezett bevételt megtartotta, akkor hány krajcár maradt Okos Palinak?

$\displaystyle b)$ Hány krajcárért kellett volna adni a $\displaystyle 60$ alma darabját, hogy mindketten megkapják az eredetileg tervezett bevételüket?

Mikszáth Kálmán ,,Pali pályája'' című elbeszélése alapján

(5 pont)

A beküldési határidő 2024. november 11-én LEJÁRT.

Megoldás. $\displaystyle a)$ Ha a $\displaystyle 60$ almát az ember úgy adja el, ahogy Okos Pali kigondolta, vagyis $\displaystyle 5$ almáért kér $\displaystyle 2$ krajcárt, akkor ebből összesen $\displaystyle 24$ krajcár bevétel származik, hiszen $\displaystyle 60=12\cdot 5$ és $\displaystyle 12\cdot 2=24$. Ebből levonva a saját tervezett $\displaystyle 15$ krajcár bevételét, Okos Palinak $\displaystyle 10$ helyett csak $\displaystyle 9$ krajcár marad.

$\displaystyle b)$ A tervezett összes bevétel $\displaystyle 25$ krajcár. Ha egy alma ára $\displaystyle x$, akkor $\displaystyle 60\cdot x=25$, azaz $\displaystyle \displaystyle{x=\frac{25}{60}=\frac{5}{12}}$.

A $\displaystyle 60$ alma darábját tehát $\displaystyle \displaystyle{\frac{5}{12}}$ krajcárért árulva az összes bevétel pontosan $\displaystyle 25$ krajcár lett volna, és így mindketten megkapták volna a tervezett bevételüket.

Megjegyzés. Okos Pali almáinak egységára $\displaystyle \displaystyle{\frac{10}{30}=\frac{1}{3}}$ volt, a másik piaci árus almáinak egységára pedig $\displaystyle \displaystyle{\frac{15}{30}=\frac{1}{2}}$. Könnyen látható, hogy az eredetileg tervezett összes bevételt akkor kapták volna meg, ha az új egységár a két eredeti egységár számtani közepe lett volna, hiszen $\displaystyle \displaystyle{\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}{2}=\frac{5}{12}}$.

Statisztika:

322 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	230 versenyző.
4 pontot kapott:	23 versenyző.
3 pontot kapott:	17 versenyző.
2 pontot kapott:	7 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	31 dolgozat.

A KöMaL 2024. októberi matematika feladatai