A C. 1823. feladat (2024. október)

C. 1823. Okos Pali kiment egyszer a piacra, hogy ott eladjon \(\displaystyle 30\) darab almát. Úgy tervezte, hogy három almáért egy krajcárt fog kérni, vagyis összesen \(\displaystyle 10\) krajcár bevételre számított. A piacon találkozott egy emberrel, aki ugyancsak almát árult. Ennek az embernek is \(\displaystyle 30\) eladó almája volt, de ő egy krajcárért csak két almát adott, vagyis összesen \(\displaystyle 15\) krajcár bevételt remélt. Okos Pali megunta a piaci nyüzsgést, átadta a maga \(\displaystyle 30\) almáját az embernek azzal, hogy adja el azokat is, mégpedig úgy, hogy öt alma ára legyen két krajcár, és azt mondta, hogy a maga bevételéért később visszajön.

\(\displaystyle a)\) Ha ez az ember Pali gondolatát elfogadva mind a \(\displaystyle 60\) almát eladta és a saját maga által tervezett bevételt megtartotta, akkor hány krajcár maradt Okos Palinak?

\(\displaystyle b)\) Hány krajcárért kellett volna adni a \(\displaystyle 60\) alma darabját, hogy mindketten megkapják az eredetileg tervezett bevételüket?

Mikszáth Kálmán ,,Pali pályája'' című elbeszélése alapján

(5 pont)

A beküldési határidő 2024. november 11-én LEJÁRT.

Megoldás. \(\displaystyle a)\) Ha a \(\displaystyle 60\) almát az ember úgy adja el, ahogy Okos Pali kigondolta, vagyis \(\displaystyle 5\) almáért kér \(\displaystyle 2\) krajcárt, akkor ebből összesen \(\displaystyle 24\) krajcár bevétel származik, hiszen \(\displaystyle 60=12\cdot 5\) és \(\displaystyle 12\cdot 2=24\). Ebből levonva a saját tervezett \(\displaystyle 15\) krajcár bevételét, Okos Palinak \(\displaystyle 10\) helyett csak \(\displaystyle 9\) krajcár marad.

\(\displaystyle b)\) A tervezett összes bevétel \(\displaystyle 25\) krajcár. Ha egy alma ára \(\displaystyle x\), akkor \(\displaystyle 60\cdot x=25\), azaz \(\displaystyle \displaystyle{x=\frac{25}{60}=\frac{5}{12}}\).

A \(\displaystyle 60\) alma darábját tehát \(\displaystyle \displaystyle{\frac{5}{12}}\) krajcárért árulva az összes bevétel pontosan \(\displaystyle 25\) krajcár lett volna, és így mindketten megkapták volna a tervezett bevételüket.

Megjegyzés. Okos Pali almáinak egységára \(\displaystyle \displaystyle{\frac{10}{30}=\frac{1}{3}}\) volt, a másik piaci árus almáinak egységára pedig \(\displaystyle \displaystyle{\frac{15}{30}=\frac{1}{2}}\). Könnyen látható, hogy az eredetileg tervezett összes bevételt akkor kapták volna meg, ha az új egységár a két eredeti egységár számtani közepe lett volna, hiszen \(\displaystyle \displaystyle{\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}{2}=\frac{5}{12}}\).

Statisztika:

322 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	229 versenyző.
4 pontot kapott:	23 versenyző.
3 pontot kapott:	17 versenyző.
2 pontot kapott:	7 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	32 dolgozat.

A KöMaL 2024. októberi matematika feladatai