 |
A C. 1825. feladat (2024. október) |
C. 1825. Az \(\displaystyle e\) egyenes a \(\displaystyle k_1\) kört a különböző \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) pontokban metszi. A \(\displaystyle k_2\) kör a \(\displaystyle C\) pontban érinti a \(\displaystyle k_1\) kört és a \(\displaystyle D\) pontban az \(\displaystyle e\) egyenest. A \(\displaystyle CD\) egyenes és a \(\displaystyle k_1\) kör másik metszéspontja \(\displaystyle T\). Mutassuk meg, hogy \(\displaystyle AT=TB\).
Svájci olimpiai feladat
(5 pont)
A beküldési határidő 2024. november 11-én LEJÁRT.
Megoldás. Jelöljük a \(\displaystyle k_1\), illetve \(\displaystyle k_2\) kör középpontját \(\displaystyle O\)-val, illetve \(\displaystyle K\)-val, a \(\displaystyle CD\) egyenest \(\displaystyle f\)-fel és legyen \(\displaystyle KDC\sphericalangle=\alpha\).
Tekintsük az alábbi ábrát.
Az \(\displaystyle e\) egyenes a \(\displaystyle k_2\) kör érintője, ezért \(\displaystyle KD\perp{e}\).
A \(\displaystyle KDC\) háromszög egyenlő szárú, mert \(\displaystyle KC=KD\) a \(\displaystyle k_2\) kör sugarai, ebből \(\displaystyle KCD\sphericalangle=\alpha\) következik. Ugyanakkor \(\displaystyle KCD\sphericalangle\) és \(\displaystyle TCO\sphericalangle\) csúcsszögek, ezért egyenlők, így
\(\displaystyle TCO\sphericalangle=\alpha.\)
A \(\displaystyle k_1\) körben \(\displaystyle OC=OT\) sugarak, így az \(\displaystyle OTC\) háromszög egyenlő szárú, ezért
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle CTO\sphericalangle=\alpha.\) |
Az (1) összefüggés szerint \(\displaystyle KDC\sphericalangle=CTO\sphericalangle\), így az \(\displaystyle OT\) és \(\displaystyle KD\) az \(\displaystyle f\) egyenessel ugyanakkora szöget zár be, vagyis \(\displaystyle OT\) és \(\displaystyle KD\) párhuzamos egyenesek.
Ebből azonnal adódik, hogy \(\displaystyle OT\perp{e}\), tehát \(\displaystyle OT\) a \(\displaystyle k_1\) kör \(\displaystyle AB\) húrját merőlegesen felezi az \(\displaystyle E\) pontban, másrészt felezi a \(\displaystyle k_1\) kör \(\displaystyle T\) pontot is tartalmazó \(\displaystyle AB\) ívét éspedig éppen a \(\displaystyle T\) pontban.
Az egyenlő hosszúságú ívekhez egyenlő hosszú húrok tartoznak, eszerint valóban teljesül, hogy \(\displaystyle AT=TB\).
Megjegyzések. 1) A feltételek miatt a \(\displaystyle k_2\) kör sem az \(\displaystyle A\), sem a \(\displaystyle B\) pontban nem érintheti az \(\displaystyle e\) egyenest.
2) Bizonyítható, hogy a \(\displaystyle C\) pont helyzetének változtatásával a \(\displaystyle T\) pontnak kétféle helyzete jöhet létre a \(\displaystyle k_1\) körön, ezek az \(\displaystyle e\) egyenesre vonatkozóan egymás tükörképei.
Statisztika:
A C. 1825. feladat értékelése még nem fejeződött be.
A KöMaL 2024. októberi matematika feladatai