A C. 1826. feladat (2024. október)

C. 1826. Bizonyítsuk be, hogy ha \(\displaystyle 0<x\leq 1\), akkor

\(\displaystyle \sqrt{1-x}+\sqrt{4-x}<1+\sqrt{4-3x}. \)

Javasolta: Hujter Mihály, Budapest

(5 pont)

A beküldési határidő 2024. november 11-én LEJÁRT.

Megoldás. A \(\displaystyle 0<x\leq 1\) feltétel miatt az egyenlőtlenség mindkét oldalának értéke pozitív, ezért ha négyzetre emeljük őket, akkor ekvivalens átalakítást végzünk. A négyzetre emelés, majd összevonás után az

\(\displaystyle 5-2x+2\sqrt{(1-x)(4-x)} < 5-3x+2\sqrt{4-3x} \)

egyenlőtlenséghez jutunk, amelyet rendezve ismét olyan egyenlőtlenséget kapunk, amelynek mindkét oldalán pozitív kifejezés áll:

\(\displaystyle x+2\sqrt{(1-x)(4-x)} < 2\sqrt{4-3x}.\)

Négyzetre emelünk, majd rendezzük az egyenlőtlenséget:

\(\displaystyle x^2+4(4-5x+x^2)+4x\sqrt{(1-x)(4-x)}<4(4-3x),\)

\(\displaystyle x^2+16-20x+4x^2+4x\sqrt{(1-x)(4-x)}<16-12x,\)

\(\displaystyle 4x\sqrt{(1-x)(4-x)}<8x-5x^2.\)

Mivel \(\displaystyle 0<x\), ezért \(\displaystyle 0<4x\)-szel elosztva az egyenlőtlenséget a két oldal közötti reláció változatlanul fennáll:

\(\displaystyle \sqrt{(1-x)(4-x)}<2-\frac54x.\)

Látjuk, hogy az egyenlőtlenség mindkét oldala pozitív, így ismét négyzetre emelünk:

\(\displaystyle (1-x)(4-x)=4-5x+x^2<4-5x+\frac{25}{16}x^2.\)

Végül a kapott egyenlőtlenséget rendezzük, így a

\(\displaystyle 0<\frac{9}{16}x^2\)

egyenlőtlenséghez jutunk, amely minden \(\displaystyle 0<x\leq 1\) valós számra igaz. A megoldás során kizárólag ekvivalens átalakításokat végeztünk. Ezzel a bizonyítás végére értünk.

Statisztika:

A C. 1826. feladat értékelése még nem fejeződött be.

A KöMaL 2024. októberi matematika feladatai