A C. 1828. feladat (2024. november)

C. 1828. Anna össze akarta adni a pozitív egész számokat $\displaystyle 1$-től $\displaystyle 500$-ig, ám véletlenül kihagyott egy háromjegyű számot. Hány olyan szám van, amelyet kihagyhatott, ha eredményül egy $\displaystyle 3$-mal osztható, $\displaystyle 3$-ra végződő számot kapott?

Javasolta: Kozma Katalin Abigél (Győr)

(5 pont)

A beküldési határidő 2024. december 10-én LEJÁRT.

Megoldás. $\displaystyle 1$-től $\displaystyle 500$-ig a pozitív egész számok összege

$\displaystyle S_{500}= \frac{1+500}{2} \cdot 500=125\,250,$

tehát Anna erre az eredményre jutott volna, ha semmit nem hagyott volna ki. Ez $\displaystyle 3$-mal osztható és $\displaystyle 0$-ra végződik, ezért Anna olyan háromjegyű számot hagyott ki, amely $\displaystyle 7$-re végződik és $\displaystyle 3$-mal osztható. Ezek: $\displaystyle 117$; $\displaystyle 147$; $\displaystyle \ldots$; $\displaystyle 447$; $\displaystyle 477$. Két szomszédos megfelelő szám különbsége $\displaystyle 30$, mivel az utolsó jegy rögzített, így összesen $\displaystyle \frac{477-117}{30}+1=13$ ilyen szám van, mindegyik megfelel a feladat feltételeinek.

Tizenhárom olyan pozitív egész szám van, amelyet Anna kihagyhatott.

Statisztika:

282 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	136 versenyző.
4 pontot kapott:	24 versenyző.
3 pontot kapott:	60 versenyző.
2 pontot kapott:	17 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	28 dolgozat.

A KöMaL 2024. novemberi matematika feladatai