 |
A C. 1830. feladat (2024. november) |
C. 1830. Az \(\displaystyle A=\{x;y;z;u;v\}\) halmaz elemei olyan természetes számok, amelyekre \(\displaystyle x+2y=3v\) és \(\displaystyle z+u=2v\). Bizonyítsuk be, hogy az \(\displaystyle A\) halmaz elemei nem lehetnek közvetlen egymás utáni természetes számok.
Matlap, Kolozsvár
(5 pont)
A beküldési határidő 2024. december 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Mivel az \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\), \(\displaystyle z\), \(\displaystyle u\), \(\displaystyle v\) természetes számok egy halmaz elemei, ezért páronként különbözőek.
Indirekt módon bizonyítunk, azaz feltesszük, hogy az \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\), \(\displaystyle z\), \(\displaystyle u\), \(\displaystyle v\) valamilyen sorrendben egymás utáni természetes számok, azaz
\(\displaystyle A=\big\{a;a+1;a+2;a+3;a+4\big\}.\)
A \(\displaystyle z+u=2v\) feltétel szerint \(\displaystyle v\) csak a \(\displaystyle z\) és \(\displaystyle u\) közötti szám lehet.
Ha feltesszük, hogy \(\displaystyle x<y\), akkor az \(\displaystyle x+2y=3v\) feltétel felhasználásával azt kapjuk, hogy \(\displaystyle 3x<x+2y=3v<3y\), vagyis \(\displaystyle x<v<y\), tehát \(\displaystyle v\) az \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) közé esik.
Ha pedig \(\displaystyle y<x\), akkor egyszerűen beláthatjuk, hogy \(\displaystyle y<v<x\), vagyis \(\displaystyle v\) így is az \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) között van.
A fentiek alapján az öt szám közül \(\displaystyle v\) csak a középső lehetne. Az \(\displaystyle u\) és \(\displaystyle z\) a \(\displaystyle v\)-hez képest szimmetrikusan helyezkednek el.
Eszerint \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) csak az \(\displaystyle a,a+4\), vagy az \(\displaystyle a+1,a+3\) számpár lehetnek.
Mindkettő ellentmond azonban az \(\displaystyle x+2y=3v\) feltételnek, vagyis annak, hogy \(\displaystyle x+2y\) \(\displaystyle 3\)-mal osztható.
Ellentmondásra jutottunk, így az indirekt feltevés hamis, tehát az \(\displaystyle A=\big\{x;y;z;u;v\big\}\) halmaz elemei valóban nem lehetnek közvetlen egymás utáni természetes számok.
Statisztika:
A C. 1830. feladat értékelése még nem fejeződött be.
A KöMaL 2024. novemberi matematika feladatai