A C. 1830. feladat (2024. november)

C. 1830. Az $\displaystyle A=\{x;y;z;u;v\}$ halmaz elemei olyan természetes számok, amelyekre $\displaystyle x+2y=3v$ és $\displaystyle z+u=2v$. Bizonyítsuk be, hogy az $\displaystyle A$ halmaz elemei nem lehetnek közvetlen egymás utáni természetes számok.

Matlap, Kolozsvár

(5 pont)

A beküldési határidő 2024. december 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Mivel az $\displaystyle x$, $\displaystyle y$, $\displaystyle z$, $\displaystyle u$, $\displaystyle v$ természetes számok egy halmaz elemei, ezért páronként különbözőek.

Indirekt módon bizonyítunk, azaz feltesszük, hogy az $\displaystyle x$, $\displaystyle y$, $\displaystyle z$, $\displaystyle u$, $\displaystyle v$ valamilyen sorrendben egymás utáni természetes számok, azaz

$\displaystyle A=\big\{a;a+1;a+2;a+3;a+4\big\}.$

A $\displaystyle z+u=2v$ feltétel szerint $\displaystyle v$ csak a $\displaystyle z$ és $\displaystyle u$ közötti szám lehet.

Ha feltesszük, hogy $\displaystyle x<y$, akkor az $\displaystyle x+2y=3v$ feltétel felhasználásával azt kapjuk, hogy $\displaystyle 3x<x+2y=3v<3y$, vagyis $\displaystyle x<v<y$, tehát $\displaystyle v$ az $\displaystyle x$ és $\displaystyle y$ közé esik.

Ha pedig $\displaystyle y<x$, akkor egyszerűen beláthatjuk, hogy $\displaystyle y<v<x$, vagyis $\displaystyle v$ így is az $\displaystyle x$ és $\displaystyle y$ között van.

A fentiek alapján az öt szám közül $\displaystyle v$ csak a középső lehetne. Az $\displaystyle u$ és $\displaystyle z$ a $\displaystyle v$-hez képest szimmetrikusan helyezkednek el.

Eszerint $\displaystyle x$ és $\displaystyle y$ csak az $\displaystyle a,a+4$, vagy az $\displaystyle a+1,a+3$ számpár lehetnek.

Mindkettő ellentmond azonban az $\displaystyle x+2y=3v$ feltételnek, vagyis annak, hogy $\displaystyle x+2y$ $\displaystyle 3$-mal osztható.

Ellentmondásra jutottunk, így az indirekt feltevés hamis, tehát az $\displaystyle A=\big\{x;y;z;u;v\big\}$ halmaz elemei valóban nem lehetnek közvetlen egymás utáni természetes számok.

Statisztika:

188 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	60 versenyző.
4 pontot kapott:	23 versenyző.
3 pontot kapott:	12 versenyző.
2 pontot kapott:	9 versenyző.
1 pontot kapott:	6 versenyző.
0 pontot kapott:	51 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	15 dolgozat.

A KöMaL 2024. novemberi matematika feladatai