 |
A C. 1831. feladat (2024. november) |
C. 1831. Oldjuk meg a valós számpárok halmazán a
$$\begin{gather*} 2x^3-3x^2y+2xy^2-y^3+1=0,\tag*{(1)}\\ x^3+2x^2y-xy^2-2y^3+3=0\tag*{(2)} \end{gather*}$$egyenletrendszert.
Javasolta: Bíró Bálint (Eger)
(5 pont)
A beküldési határidő 2024. december 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Végezzük el a következő lépéseket: Az (1)-t szorozzuk meg \(\displaystyle 3\)-mal, és vonjuk ki belőle a (2)-t annak érdekében, hogy homogén egyenletet kapjunk, ráadásul így minden tag harmadfokú lesz. Az eredmény az alábbi, (3) egyenlet. Ha egy \(\displaystyle (x;y)\) számpár megoldása az (1)-nek és a (2)-nek, akkor megoldása a (3)-nak is. Gyököt tehát nem veszítünk, de az elképzelhető, hogy gyököt nyerünk, vagyis a (3) egyenlet megoldásait ellenőriznünk kell.
| \(\displaystyle (3)\) | \(\displaystyle 5x^3-11x^2y+7xy^2-y^3=0 \) |
A tagok szétbontása, csoportosítása és a szorzattá alakítás során kapjuk az alábbiakat:
\(\displaystyle 5x^3-5x^2y-6x^2y+6xy^2+xy^2-y^3=0,\)
\(\displaystyle 5x^2(x-y)-6xy(x-y)+y^2(x-y)=0,\)
| \(\displaystyle (4)\) | \(\displaystyle (x-y)\big(5x^2-6xy+y^2\big)=0.\) |
Ez a szorzat pontosan akkor \(\displaystyle 0\), ha \(\displaystyle x=y\), vagy \(\displaystyle 5x^2-6xy+y^2=0\). Az első esetben az (1) egyenletre \(\displaystyle 1=0\) adódik, tehát \(\displaystyle x\neq y\). Továbbá ha \(\displaystyle y=0\) lenne, akkor a (3) egyenlet alapján \(\displaystyle x=0\) adódna, de ez nem felelne meg az eredeti két egyenletnek. Így tehát \(\displaystyle y \neq 0\), ezért az \(\displaystyle 5x^2-6xy+y^2=0\) egyenlet megoldása során oszthatunk \(\displaystyle y^2\)-tel. Ezután az alábbi egyenlet megoldásait keressük \(\displaystyle \displaystyle{\frac{x}{y}}\)-ra nézve:
\(\displaystyle 5\bigg(\frac{x}{y}\bigg)^2-6\bigg(\frac{x}{y}\bigg)+1=0.\)
Két megoldás adódik \(\displaystyle \displaystyle{\frac{x}{y}}\)-ra:
\(\displaystyle \bigg(\frac{x}{y}\bigg)_1=1,\)
\(\displaystyle \bigg(\frac{x}{y}\bigg)_2=\frac{1}{5}. \)
Az első esetben nem kapunk megoldást (ld. fent), a második esetben azonban \(\displaystyle y=5x\)-et helyettesítve az (1) egyenletbe azt kapjuk, hogy:
\(\displaystyle 2x^3-15x^3+50x^3-125x^3+1=0,\)
\(\displaystyle x^3=\frac{1}{88},\)
\(\displaystyle x=\frac{1}{\sqrt[3]{88}}\approx 0.224822.\)
Ekkor
\(\displaystyle y=\frac{5}{\sqrt[3]{88}}\approx 1.124111.\)
Ezt az értéket behelyettesítve azt kapjuk, hogy ez a számpár valóban megoldása az (1) és (2) egyenletekből álló egyenletrendszernek.
Statisztika:
44 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Balogh Bendegúz, Albert Luca Liliána, Balogh Péter, Bán Kincső Panni, Barna 201 Krisztina, Barna Márton, Bartusková Viktória, Bencze Mátyás, Bérczes Botond, Budai Máté, Csiszár András, Farkas András, Gulyás Ákos, Hajós Boróka, Hetyei Dániel, Hirth Ádám, Horvath Benedek, Iván Máté Domonkos, Kókai Ákos, Magura Anna Luca, Márfai Dóra, Masa Barnabás, Molnár Lili, Monoczki Máté, Móricz Zsombor, Palásthy Bánk, Pánovics Máté, Pink István, Rózsa Zsombor, Száva András, Wodala Gréta Klára. 2 pontot kapott: 2 versenyző. 1 pontot kapott: 5 versenyző. 0 pontot kapott: 3 versenyző.
A KöMaL 2024. novemberi matematika feladatai