A C. 1832. feladat (2024. november)

C. 1832. Legyen $\displaystyle ABC$ olyan háromszög, amelynek területe $\displaystyle 15\sqrt{7}$, továbbá minden oldalának hossza egész szám. Mekkorák lehetnek az oldalak?

Javasolta: Szmerka Gergely (Budapest)

(5 pont)

A beküldési határidő 2024. december 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Írjuk fel a Heron-képlet segítségével a háromszög területét: $\displaystyle \displaystyle{\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}=\sqrt{3^2\cdot 5^2 \cdot 7}}$, vagyis

$\displaystyle s(s-a)(s-b)(s-c)=3^2\cdot 5^2 \cdot 7=1575.$

A háromszög minden oldala egész szám. Ha a kerület páratlan, akkor $\displaystyle \displaystyle{s(s-a)(s-b)(s-c)=\frac{2k+1}{2^4}}$, vagyis nem egész szám. Ha a kerület páros szám, akkor $\displaystyle s$, $\displaystyle s-a$, $\displaystyle s-b$ és $\displaystyle s-c$ mindegyike egész, tehát a számelmélet alaptétele szerint mindegyikre igaz, hogy vagy $\displaystyle 1$, vagy a prímtényezős felbontásában legfeljebb két $\displaystyle 3$-as, legfeljebb két $\displaystyle 5$-ös és legfeljebb egy $\displaystyle 7$-es szerepel, más nem. Továbbá $\displaystyle (s-a)+(s-b)+(s-c)=s$ is teljesül.

A fenti két feltételnek megfelelően kell négy tényezőre bontani az $\displaystyle \displaystyle{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ kifejezést. Nem sérti az általánosságot, ha feltesszük, hogy $\displaystyle a\geq b\geq c$, így teljesül, hogy $\displaystyle s-a\leq s-b \leq s-c < s$. Az alábbi esetek lehetségesek az $\displaystyle 1$-esek száma szerint:

1. Három db $\displaystyle 1$-es. Ez nem lehetséges, mert $\displaystyle 1+1+1\neq 1575$.
2. Két db $\displaystyle 1$-es. Ez sem lehetséges, mert $\displaystyle 1\cdot 1 \cdot x \cdot y=1575$ esetében $\displaystyle 2+x=y$ kellene teljesüljön, de az $\displaystyle x(x+2)=1575$ egyenletnek nincs egész megoldása.
3. Egy db $\displaystyle 1$-es.

$\displaystyle s-a$	$\displaystyle s-b$	$\displaystyle s-c$	$\displaystyle s$
$\displaystyle 1$	$\displaystyle 3$	$\displaystyle 3$	$\displaystyle 175$
$\displaystyle 1$	$\displaystyle 3$	$\displaystyle 5$	$\displaystyle 105$
$\displaystyle 1$	$\displaystyle 3$	$\displaystyle 7$	$\displaystyle 75$
$\displaystyle 1$	$\displaystyle 3$	$\displaystyle 15$	$\displaystyle 35$
$\displaystyle 1$	$\displaystyle 3$	$\displaystyle 21$	$\displaystyle 25$
$\displaystyle 1$	$\displaystyle 5$	$\displaystyle 5$	$\displaystyle 63$
$\displaystyle 1$	$\displaystyle 5$	$\displaystyle 7$	$\displaystyle 45$
$\displaystyle 1$	$\displaystyle 5$	$\displaystyle 9$	$\displaystyle 35$
$\displaystyle 1$	$\displaystyle 5$	$\displaystyle 15$	$\displaystyle 21$
$\displaystyle 1$	$\displaystyle 7$	$\displaystyle 9$	$\displaystyle 25$

Ezekből az $\displaystyle (1; 3; 21; 25)$ és az $\displaystyle (1;5;15;21)$ kivételellel egyikre sem teljesül, hogy $\displaystyle (s-a)+(s-b)+(s-c)=s$.

4. Nincs $\displaystyle 1$-es.

$\displaystyle s-a$	$\displaystyle s-b$	$\displaystyle s-c$	$\displaystyle s$
$\displaystyle 3$	$\displaystyle 3$	$\displaystyle 5$	$\displaystyle 35$
$\displaystyle 3$	$\displaystyle 3$	$\displaystyle 7$	$\displaystyle 25$
$\displaystyle 3$	$\displaystyle 5$	$\displaystyle 5$	$\displaystyle 21$
$\displaystyle 3$	$\displaystyle 5$	$\displaystyle 7$	$\displaystyle 15$
$\displaystyle 5$	$\displaystyle 5$	$\displaystyle 7$	$\displaystyle 9$

Ezek közül pedig csak a $\displaystyle (3,5;7;15)$ felel meg a feltételnek.

Így három megoldást kaptunk a háromszög oldalaira:

Statisztika:

46 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Barna 201 Krisztina, Bartusková Viktória, Budai Máté, Farkas András, Iván Máté Domonkos, Kókai Ákos, Magura Anna Luca, Malinkó Dioméd, Pánovics Máté, Pink István, Tóth 207 Bence.
4 pontot kapott:	Balogh Péter, Hetyei Dániel, Medgyesi Júlia.
3 pontot kapott:	13 versenyző.
2 pontot kapott:	11 versenyző.
1 pontot kapott:	6 versenyző.

A KöMaL 2024. novemberi matematika feladatai