A C. 1832. feladat (2024. november)

C. 1832. Legyen \(\displaystyle ABC\) olyan háromszög, amelynek területe \(\displaystyle 15\sqrt{7}\), továbbá minden oldalának hossza egész szám. Mekkorák lehetnek az oldalak?

Javasolta: Szmerka Gergely (Budapest)

(5 pont)

A beküldési határidő 2024. december 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Írjuk fel a Heron-képlet segítségével a háromszög területét: \(\displaystyle \displaystyle{\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}=\sqrt{3^2\cdot 5^2 \cdot 7}}\), vagyis

\(\displaystyle s(s-a)(s-b)(s-c)=3^2\cdot 5^2 \cdot 7=1575.\)

A háromszög minden oldala egész szám. Ha a kerület páratlan, akkor \(\displaystyle \displaystyle{s(s-a)(s-b)(s-c)=\frac{2k+1}{2^4}}\), vagyis nem egész szám. Ha a kerület páros szám, akkor \(\displaystyle s\), \(\displaystyle s-a\), \(\displaystyle s-b\) és \(\displaystyle s-c\) mindegyike egész, tehát a számelmélet alaptétele szerint mindegyikre igaz, hogy vagy \(\displaystyle 1\), vagy a prímtényezős felbontásában legfeljebb két \(\displaystyle 3\)-as, legfeljebb két \(\displaystyle 5\)-ös és legfeljebb egy \(\displaystyle 7\)-es szerepel, más nem. Továbbá \(\displaystyle (s-a)+(s-b)+(s-c)=s\) is teljesül.

A fenti két feltételnek megfelelően kell négy tényezőre bontani az \(\displaystyle \displaystyle{s(s-a)(s-b)(s-c)}\) kifejezést. Nem sérti az általánosságot, ha feltesszük, hogy \(\displaystyle a\geq b\geq c\), így teljesül, hogy \(\displaystyle s-a\leq s-b \leq s-c < s\). Az alábbi esetek lehetségesek az \(\displaystyle 1\)-esek száma szerint:

1. Három db \(\displaystyle 1\)-es. Ez nem lehetséges, mert \(\displaystyle 1+1+1\neq 1575\).
2. Két db \(\displaystyle 1\)-es. Ez sem lehetséges, mert \(\displaystyle 1\cdot 1 \cdot x \cdot y=1575\) esetében \(\displaystyle 2+x=y\) kellene teljesüljön, de az \(\displaystyle x(x+2)=1575\) egyenletnek nincs egész megoldása.
3. Egy db \(\displaystyle 1\)-es.

\(\displaystyle s-a\)	\(\displaystyle s-b\)	\(\displaystyle s-c\)	\(\displaystyle s\)
\(\displaystyle 1\)	\(\displaystyle 3\)	\(\displaystyle 3\)	\(\displaystyle 175\)
\(\displaystyle 1\)	\(\displaystyle 3\)	\(\displaystyle 5\)	\(\displaystyle 105\)
\(\displaystyle 1\)	\(\displaystyle 3\)	\(\displaystyle 7\)	\(\displaystyle 75\)
\(\displaystyle 1\)	\(\displaystyle 3\)	\(\displaystyle 15\)	\(\displaystyle 35\)
\(\displaystyle 1\)	\(\displaystyle 3\)	\(\displaystyle 21\)	\(\displaystyle 25\)
\(\displaystyle 1\)	\(\displaystyle 5\)	\(\displaystyle 5\)	\(\displaystyle 63\)
\(\displaystyle 1\)	\(\displaystyle 5\)	\(\displaystyle 7\)	\(\displaystyle 45\)
\(\displaystyle 1\)	\(\displaystyle 5\)	\(\displaystyle 9\)	\(\displaystyle 35\)
\(\displaystyle 1\)	\(\displaystyle 5\)	\(\displaystyle 15\)	\(\displaystyle 21\)
\(\displaystyle 1\)	\(\displaystyle 7\)	\(\displaystyle 9\)	\(\displaystyle 25\)

Ezekből az \(\displaystyle (1; 3; 21; 25)\) és az \(\displaystyle (1;5;15;21)\) kivételellel egyikre sem teljesül, hogy \(\displaystyle (s-a)+(s-b)+(s-c)=s\).

4. Nincs \(\displaystyle 1\)-es.

\(\displaystyle s-a\)	\(\displaystyle s-b\)	\(\displaystyle s-c\)	\(\displaystyle s\)
\(\displaystyle 3\)	\(\displaystyle 3\)	\(\displaystyle 5\)	\(\displaystyle 35\)
\(\displaystyle 3\)	\(\displaystyle 3\)	\(\displaystyle 7\)	\(\displaystyle 25\)
\(\displaystyle 3\)	\(\displaystyle 5\)	\(\displaystyle 5\)	\(\displaystyle 21\)
\(\displaystyle 3\)	\(\displaystyle 5\)	\(\displaystyle 7\)	\(\displaystyle 15\)
\(\displaystyle 5\)	\(\displaystyle 5\)	\(\displaystyle 7\)	\(\displaystyle 9\)

Ezek közül pedig csak a \(\displaystyle (3,5;7;15)\) felel meg a feltételnek.

Így három megoldást kaptunk a háromszög oldalaira:

Statisztika:

46 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Barna 201 Krisztina, Bartusková Viktória, Budai Máté, Farkas András, Iván Máté Domonkos, Kókai Ákos, Magura Anna Luca, Malinkó Dioméd, Pánovics Máté, Pink István, Tóth 207 Bence.
4 pontot kapott:	Balogh Péter, Hetyei Dániel, Medgyesi Júlia.
3 pontot kapott:	13 versenyző.
2 pontot kapott:	11 versenyző.
1 pontot kapott:	6 versenyző.

A KöMaL 2024. novemberi matematika feladatai