 |
A C. 1834. feladat (2024. december) |
C. 1834. Három deli herceg versengett Kék király csodálatos leányának kezéért: Piros herceg, Fehér herceg és Zöld herceg. Az első próba a jóízlés próbája volt. A hercegek kaptak egy-egy kék szabályos 20-szöget, amelynek tetszőleges részét átszínezhették a saját színükre, minél ízlésesebben. Azt nem árulta el nekik a királylány, hogy előre eldöntötte, aki a \(\displaystyle 20\)-szöge ötödénél többet fest át a saját színére, az szerinte túl egoista, és ezért nem folytathatja a vetélkedést a kezéért. Az egyes hercegek az alábbi színezéseket készítették:
Melyikük jutott tovább a próbák következő fordulójába? (Ahol a feladat egyébként egy hétfejű sárkány legyőzése és megevése volt, de hát az már egy másik matekpélda.)
Javasolta: Bertalan Zoltán (Békéscsaba)
(5 pont)
A beküldési határidő 2025. január 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Használjuk a feladat ábráit, a hercegek által kijelölt síkidomok területét jelölje rendre \(\displaystyle T_{\text{piros}}\), \(\displaystyle T_{\text{fehér}}\) és \(\displaystyle T_{\text{zöld}}\), a szabályos húszszögét pedig \(\displaystyle T\), továbbá a szabályos sokszög köré írható kör középpontját \(\displaystyle X\). A húszszög egy oldalához tartozó egyenlő szárú háromszög szárai legyenek \(\displaystyle r\) hosszúságúak, az általuk bezárt szög pedig \(\displaystyle 18^{\circ}\), így egy ilyen kis háromszög területe
\(\displaystyle \displaystyle{\frac{r^2\cdot \sin{18^{\circ}}}{2}},\)
a húszszög területe pedig:
\(\displaystyle T=20\cdot \frac{r^2\cdot \sin{18^{\circ}}}{2}=10\cdot r^2\cdot \sin{18^{\circ}}.\)
A piros terület a következőképp számolható:
\(\displaystyle T_{\text{piros}}=T_{XRST}+T_{XTC}+T_{XCDE}-T_{XRE}=4\cdot \frac{r^2\cdot \sin{18^{\circ}}}{2}+\frac{r^2\cdot \sin{(3\cdot 18^{\circ})}}{2}-\frac{r^2\cdot \sin{(7\cdot 18^{\circ})}}{2}.\)
Az utolsó két tag egyenlő, hiszen \(\displaystyle (7\cdot 18^{\circ})=180^{\circ}-(3\cdot 18^{\circ})\), ezért \(\displaystyle \sin{(3\cdot 18^{\circ}})=\sin{(7\cdot 18^{\circ})}\), tehát
\(\displaystyle T_{\text{piros}}=2\cdot r^2\cdot \sin{18^{\circ}}=\frac{T}{5}.\)
A fehér területet, vagyis \(\displaystyle T_{\text{fehér}}\)-et két-két háromszögből fogjuk összerakni:
\(\displaystyle T_{\text{fehér}}=T_{ABKL}=T_{XAB}+T_{XBK}+T_{XKL}+T_{XLA}=2\cdot \frac{r^2\cdot \sin{18^{\circ}}}{2}+2\cdot \frac{r^2\cdot \sin{(9\cdot18^{\circ})}}{2}. \)
De a fenti megfontolás alapján az utolsó két tag itt is egyenlő, hiszen \(\displaystyle \sin{18^{\circ}}=\sin{(9\cdot18^{\circ})}\). Emiatt:
\(\displaystyle T_{\text{fehér}}=2\cdot r^2\cdot \sin{18^{\circ}}=\frac{T}{5}.\)
A \(\displaystyle T_{\text{zöld}}\)-et szintén két részből rakhatjuk össze:
\(\displaystyle T_{\text{zöld}}=2\cdot T_{LMQR}=2\cdot \big(T_{XLM}+T_{XMQ}+T_{XQR}-T_{XLR}\big)=2\cdot \Bigg(2\cdot \frac{r^2\cdot \sin{18^{\circ}}}{2}+\frac{r^2\cdot \sin{(4\cdot18^{\circ})}}{2}-\frac{r^2\cdot \sin{(6\cdot 18^{\circ})}}{2} \Bigg).\)
A nagy zárójelben levő tagok közül az utolsó kettő ismét egyenlő, ezért:
\(\displaystyle T_{\text{zöld}}=2\cdot r^2\cdot \sin{18^{\circ}}=\frac{T}{5}.\)
Mivel mindegyik herceg azonos területű részét színezte ki a húszszögnek, ezért mindhárman továbbjutottak, vagyis boldogan készülhetnek a próbák következő fordulójára.
Statisztika:
A C. 1834. feladat értékelése még nem fejeződött be.
A KöMaL 2024. decemberi matematika feladatai