 |
A C. 1835. feladat (2024. december) |
C. 1835. Az \(\displaystyle x\) szám egészrészét \(\displaystyle [x]\), törtrészét pedig \(\displaystyle \{x\}\) jelöli. Bizonyítsuk be, hogy az \(\displaystyle [x]\cdot\{x\}=\dfrac{2024}{2025}\) egyenletnek végtelen sok megoldása van a racionális számok halmazán.
Javasolta: Bencze Mihály (Brassó)
(5 pont)
A beküldési határidő 2025. január 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Elegendő egy olyan konstrukciót adnunk az \(\displaystyle x\) racionális számra, amely végtelen sok racionális számot határoz meg, és amely kielégíti az \(\displaystyle \displaystyle{\left[x\right]\cdot\{x\}=\frac{2024}{2025}}\) egyenletet.
Legyen
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle \displaystyle{x=2024n+\frac{1}{2025n}},\) |
ahol \(\displaystyle n\) pozitív egész.
Az így definiált \(\displaystyle x\) biztosan racionális számot határoz meg, hiszen a \(\displaystyle 2024n\) egész szám és az \(\displaystyle \displaystyle{\frac{1}{2025n}}\) racionális szám összegeként jön létre. Másrészt mivel \(\displaystyle n\) végtelen sok értéket vehet fel, ezért (1) végtelen sok racionális számot állít elő.
Ugyanakkor \(\displaystyle \displaystyle{0<\frac{1}{2025n}<1}\) miatt nyilvánvaló, hogy
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle \displaystyle{\left[x\right]=2024n}\) |
és
| \(\displaystyle (3)\) | \(\displaystyle \{x\}=\frac{1}{2025n}.\) |
A (2) és (3) megfelelő oldalainak összeszorzásával kapjuk, hogy
\(\displaystyle \displaystyle{\left[x\right]\cdot\{x\}=\frac{2024}{2025}},\)
ezzel igazoltuk a feladat állítását.
Megjegyzés. Vannak más megoldások is. Ha például \(\displaystyle 2024=a\cdot b\), ahol \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) pozitív egész számok, vagyis \(\displaystyle a,~b\) a \(\displaystyle 2024\) egy osztópárja, akkor legyen
\(\displaystyle \displaystyle{x=a\cdot n+\frac{b}{2025\cdot n}}.\)
Ekkor
\(\displaystyle \displaystyle{x=\frac{2024}{b}\cdot n+\frac{b}{2025\cdot n}}\)
és nyilvánvaló, hogy \(\displaystyle \displaystyle{\left[x\right]=\frac{2024}{b}\cdot n}\), valamint \(\displaystyle \displaystyle{\{x\}=\frac{b}{2025\cdot n}}\), így \(\displaystyle \displaystyle{\left[x\right]\cdot\{x\}=\frac{2024}{2025}}\). Ez a konstrukció végtelen sok, a feladat feltételeinek megfelelő racionális számot állít elő, hiszen \(\displaystyle n\) végtelen sok pozitív egész értéket vehet fel.
Ugyancsak végtelen sok racionális számot képezhetünk a \(\displaystyle 2024\) bármely más pozitív osztópárjával.
Statisztika:
A C. 1835. feladat értékelése még nem fejeződött be.
A KöMaL 2024. decemberi matematika feladatai