 |
A C. 1835. feladat (2024. december) |
C. 1835. Az x szám egészrészét [x], törtrészét pedig {x} jelöli. Bizonyítsuk be, hogy az [x]⋅{x}=20242025 egyenletnek végtelen sok megoldása van a racionális számok halmazán.
Javasolta: Bencze Mihály (Brassó)
(5 pont)
A beküldési határidő 2025. január 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Elegendő egy olyan konstrukciót adnunk az x racionális számra, amely végtelen sok racionális számot határoz meg, és amely kielégíti az [x]⋅{x}=20242025 egyenletet.
Legyen
| (1) | x=2024n+12025n, |
ahol n pozitív egész.
Az így definiált x biztosan racionális számot határoz meg, hiszen a 2024n egész szám és az 12025n racionális szám összegeként jön létre. Másrészt mivel n végtelen sok értéket vehet fel, ezért (1) végtelen sok racionális számot állít elő.
Ugyanakkor 0<12025n<1 miatt nyilvánvaló, hogy
| (2) | [x]=2024n |
és
| (3) | {x}=12025n. |
A (2) és (3) megfelelő oldalainak összeszorzásával kapjuk, hogy
[x]⋅{x}=20242025,
ezzel igazoltuk a feladat állítását.
Megjegyzés. Vannak más megoldások is. Ha például 2024=a⋅b, ahol a és b pozitív egész számok, vagyis a, b a 2024 egy osztópárja, akkor legyen
x=a⋅n+b2025⋅n.
Ekkor
x=2024b⋅n+b2025⋅n
és nyilvánvaló, hogy [x]=2024b⋅n, valamint {x}=b2025⋅n, így [x]⋅{x}=20242025. Ez a konstrukció végtelen sok, a feladat feltételeinek megfelelő racionális számot állít elő, hiszen n végtelen sok pozitív egész értéket vehet fel.
Ugyancsak végtelen sok racionális számot képezhetünk a 2024 bármely más pozitív osztópárjával.
Statisztika:
171 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 58 versenyző. 4 pontot kapott: 49 versenyző. 3 pontot kapott: 22 versenyző. 2 pontot kapott: 16 versenyző. 1 pontot kapott: 2 versenyző. 0 pontot kapott: 5 versenyző. Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt: 9 dolgozat.
A KöMaL 2024. decemberi matematika feladatai
|
|