 |
A C. 1836. feladat (2024. december) |
C. 1836. Az egyenlő szárú ABC háromszög AB alapjának végpontjain áthaladó k kör az AC, illetve BC oldalegyeneseket az A, illetve B pontokban érinti. A k körnek egy, az A és B pontoktól különböző pontja P. Igazoljuk, hogy a P pontnak az AB egyenestől mért távolsága legfeljebb akkora, mint az AC és BC egyenesektől mért távolságok számtani közepe.
Javasolta: Bíró Bálint (Eger)
(5 pont)
A beküldési határidő 2025. január 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Jelöljük a k kör középpontját O-val. Mivel AC és BC a k kör érintői, ezért OA merőleges AC-re és OB merőleges BC-re. Az AB egyenese az ABC háromszög síkját két félsíkra, a k körvonalat két körívre bontja, a két körív egyike a C ponttal azonos, a másik körív azzal ellentétes félsíkban van.
Válasszuk a P pontot az utóbbi köríven, a P-ből az AC, BC, AB egyenesekre bocsájtott merőlegesek talppontjai rendre X, Y, Z.
A P pontból az A, B, X, Y, Z pontokba húzott szakaszok hosszát a megfelelő kisbetűvel jelöljük, alkalmazzuk továbbá a CAB∢=CBA∢=α és az PBA∢=β jelölést.
Az ábrán szereplő x, y, z szakaszokra azt kell bizonyítani, hogy
| (1) | z≤x+y2. |
A kerületi szögek tétele szerint PAX∢=PBA∢=β, hiszen PAX∢ a k körben a B pontot nem tartalmazó AP ívhez tartozó érintő szárú kerületi szög, PBA∢=β pedig ugyanehhez az ívhez tartozó kerületi szög.
Ebből az következik, hogy a PAX és PBZ derékszögű háromszögek hasonlók, és így a megfelelő oldalak aránya egyenlő, vagyis
ax=bz,
ahonnan azt kapjuk, hogy
| (2) | ab=xz. |
A csúcsszögek egyenlősége miatt XAZ∢=α, így PAZ∢=α+β, továbbá PBY∢=α+β, ezért a PAZ és PBY derékszögű háromszögek szintén hasonlók. Ebből következik, hogy
az=by,
amelyből
| (3) | ab=zy. |
Az (2) és (3) összefüggések együttes figyelembevételével adódik, hogy
xz=zy,
ahonnan rendezés után
z2=xy,
tehát a PZ=z szakasz hossza a PX=x és PY=y szakaszok hosszának mértani közepe.
A számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenséget alkalmazva kapjuk, hogy
z≤x+y2,
ez pedig éppen a bizonyítandó (1) egyenlőtlenség.
Egyenlőség nyilván akkor van, ha x=y, ez pontosan akkor következik be, ha PA=PB, azaz, ha P felezőpontja a k kör azon ívének, amelyre illeszkedik.
Ezzel a megoldást befejeztük.
Megjegyzés. A feladat állításának igazolása ugyanígy írható le, ha P a k körnek azon ívére illeszkedik, amelyik a C ponttal azonos félsíkban van, továbbá akkor is, ha a Z pont az AB szakasz belső- vagy határpontja. Ha például A=Z, akkor könnyen igazolható, hogy B=Y, így a PAX és PBZ derékszögű háromszögek hasonlóságából z2=xy azonnal adódik.
Statisztika:
20 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Budai Máté, Hetyei Dániel, Horvath Benedek, Iván Máté Domonkos, Kókai Ákos, Kulcsár Anna Zita, Masa Barnabás. 3 pontot kapott: 2 versenyző. 2 pontot kapott: 2 versenyző. 1 pontot kapott: 3 versenyző. 0 pontot kapott: 5 versenyző.
A KöMaL 2024. decemberi matematika feladatai
|
|