A C. 1837. feladat (2024. december)

C. 1837. Már az ókori görögök is tudták, hogy a $\displaystyle \pi \approx 3{,}1416$ egészen jól közelíthető a $\displaystyle \dfrac{22}{7}\approx 3{,}1429$ törttel. Hány olyan pozitív egész számokból álló $\displaystyle (a;b)$ számpár van, amelyekre $\displaystyle 1<b<100$ és az $\displaystyle \frac{a}{b}$ tizedes tört alakja úgy kezdődik, hogy $\displaystyle 3{,}14$ ?

Javasolta: Kozma Katalin Abigél (Győr)

(5 pont)

A beküldési határidő 2025. január 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Azokat az $\displaystyle 0<a$ és $\displaystyle 0<b<100$ egész számokat keressük, amelyekre

$\displaystyle \frac{314}{100} \le \frac{a}{b} < \frac{315}{100}.$

Kivonva $\displaystyle 3$ -at:

$\displaystyle \frac{14}{100} \le \frac{a-3b}{b} < \frac{15}{100}.$

Legyen $\displaystyle c=a-3b$ pozitív egész és innentől külön-külön vizsgáljuk az

$\displaystyle (1)~~\frac{14}{100} \le \frac{c}{b} \quad \text{ és a } \quad (2)~~\frac{c}{b} < \frac{15}{100} \text{ egyenlőtlenséget}.$

$\displaystyle (2)$ -ből következően: $\displaystyle c<\frac{15b}{100}<15$ , azaz $\displaystyle c \in\{1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12;13;14 \}.$ Vesszük $\displaystyle (2)$ mindkét oldalának reciprokát, majd kivonunk $\displaystyle 7$ -et:

$\displaystyle \frac{b}{c}>\frac{100}{15} \Rightarrow \frac{b-7c}{c}>\frac{-5}{15}=-\frac{1}{3}.$

Teljesen hasonlóan $\displaystyle (1)$ -ből kapjuk, hogy

$\displaystyle \frac{b}{c} \le \frac{100}{14} \Rightarrow \frac{b-7c}{c} \le \frac{2}{14}=\frac{1}{7}.$

Mivel $\displaystyle b$ és $\displaystyle c$ egész, ezért $\displaystyle d=b-7c$ is az. Ekkor

$\displaystyle \frac{-1}{3}<\frac{d}{c} \le \frac{1}{7},$

$\displaystyle -\frac{c}{3}< d \le \frac{c}{7}.$

Tehát ahogy $\displaystyle c$ végigfut $\displaystyle 1$ -től $\displaystyle 14$ -ig, meg kell számolnunk, hogy hány egész szám van a $\displaystyle \displaystyle{\Big]-\frac{c}{3}; \frac{c}{7}\Big]}$ intervallumban. Ezt táblázat segítségével tesszük meg:

begincenter $\displaystyle c$ értéke	$\displaystyle ]-\frac{c}{3}; \frac{c}{7}]$	az intervallum egész elemei	$\displaystyle d$ lehetséges értékeinek száma
$\displaystyle 1$	$\displaystyle ]-\frac{1}{3}; \frac{1}{7}]$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle 1$
$\displaystyle 2$	$\displaystyle ]-\frac{2}{3}; \frac{2}{7}]$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle 1$
$\displaystyle 3$	$\displaystyle ]-1; \frac{3}{7}]$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle 1$
$\displaystyle 4$	$\displaystyle ]-\frac{4}{3}; \frac{4}{7}]$	$\displaystyle -1; 0$	$\displaystyle 2$
$\displaystyle 5$	$\displaystyle ]-\frac{5}{3}; \frac{5}{7}]$	$\displaystyle -1; 0$	$\displaystyle 2$
$\displaystyle 6$	$\displaystyle ]-2; \frac{6}{7}]$	$\displaystyle -1; 0$	$\displaystyle 2$
$\displaystyle 7$	$\displaystyle ]-\frac{7}{3}; 1]$	$\displaystyle -2;-1; 0;1$	$\displaystyle 4$
$\displaystyle 8$	$\displaystyle ]-\frac{8}{3}; \frac{8}{7}]$	$\displaystyle -2;-1; 0;1$	$\displaystyle 4$
$\displaystyle 9$	$\displaystyle ]-3; \frac{9}{7}]$	$\displaystyle -2;-1; 0;1$	$\displaystyle 4$
$\displaystyle 10$	$\displaystyle ]-\frac{10}{3}; \frac{10}{7}]$	$\displaystyle -3;-2;-1; 0;1$	$\displaystyle 5$
$\displaystyle 11$	$\displaystyle ]-\frac{11}{3}; \frac{11}{7}]$	$\displaystyle -3;-2;-1; 0;1$	$\displaystyle 5$
$\displaystyle 12$	$\displaystyle ]-4; \frac{12}{7}]$	$\displaystyle -3;-2;-1; 0;1$	$\displaystyle 5$
$\displaystyle 13$	$\displaystyle ]-\frac{13}{3}; \frac{13}{7}]$	$\displaystyle -4;-3;-2;-1; 0;1$	$\displaystyle 6$
$\displaystyle 14$	$\displaystyle ]-\frac{14}{3}; 2]$	$\displaystyle -4;-3;-2;-1; 0;1;2$	$\displaystyle 7$

A feladat feltétele, hogy $\displaystyle b<100$ , ezért $\displaystyle c=14$ esetén (lásd utolsó sor) $\displaystyle d=b-7c=b-7 \cdot 14=b-98<100-98=2$ , azaz $\displaystyle d<2$ . Így $\displaystyle c=14$ -re a $\displaystyle d=2$ nem jó, ezért csak $\displaystyle 7-1=6$ megoldás van.

Összesen: $\displaystyle 3 \cdot (1+2+4+5)+2 \cdot 6=48$ megfelelő $\displaystyle (a;b)$ számpár van.

Megjegyzés. A Pick-tétel alkalmazásával is megoldható a feladat.

Statisztika:

42 dolgozat érkezett.

5 pontot kapott: Farkas András, Iván Máté Domonkos, Kókai Ákos, Pink István.

4 pontot kapott: Fercsák Flórián.

3 pontot kapott: 9 versenyző.

2 pontot kapott: 6 versenyző.

1 pontot kapott: 10 versenyző.

0 pontot kapott: 8 versenyző.

A KöMaL 2024. decemberi matematika feladatai

42 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Farkas András, Iván Máté Domonkos, Kókai Ákos, Pink István.
4 pontot kapott:	Fercsák Flórián.
3 pontot kapott:	9 versenyző.
2 pontot kapott:	6 versenyző.
1 pontot kapott:	10 versenyző.
0 pontot kapott:	8 versenyző.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?