A C. 1843. feladat (2025. február)

C. 1843. Boglárka rajzolt egy téglalapot, amelynek az egyik oldala $\displaystyle 75~\mathrm{cm}$, míg a másik $\displaystyle 105~\mathrm{cm}$ hosszú lett. Ezt felosztotta $\displaystyle 75\cdot 105= 7875$ darab $\displaystyle 1~\mathrm{cm}$ oldalú négyzetre, majd megrajzolta a téglalap egyik átlóját. Hány kis négyzeten megy át ez az átló?

Javasolta: Kozma Katalin Abigél, Győr

(5 pont)

A beküldési határidő 2025. március 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Ha egy téglalap $\displaystyle a$ és $\displaystyle b$ oldalhosszai relatív prímek, akkor egyik csúcsából elindulva az átló mentén, csak úgy juthatunk át egy másik kis négyzetbe, ha átlépjük valamelyik (a téglalap oldalával párhuzamos) rácsvonalat. Ilyen esetben az átló semelyik rácspontra nem illeszkedik, csak az átló végpontjaira. Ekkor az $\displaystyle a$ oldalra merőleges $\displaystyle a-1$ darab rácsvonalat metszi az átló, és a $\displaystyle b$ oldalra merőleges $\displaystyle b-1$ darab rácsvonalat szintén, ezért az első kis négyzettel együtt összesen $\displaystyle 1+a-1+b-1=a+b-1$ négyzeten megy át. A feladat feltételei szerint $\displaystyle a=75$ és $\displaystyle b=105$, legnagyobb közös osztójuk $\displaystyle (a;b)=15$, és $\displaystyle 75=15 \cdot 5, ~~105=15 \cdot 7.$ Ekkor az előzőekben leírt jelenség $\displaystyle 15$-ször ismétlődik meg, $\displaystyle 15$ darab $\displaystyle 5$-ször $\displaystyle 7$-es téglalap átlója mentén, vagyis a Boglárka által rajzolt téglalap átlója összesen

$\displaystyle 15(5+7-1)=75+105-15=165$

darab kis négyzeten megy át.

Statisztika:

197 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	122 versenyző.
4 pontot kapott:	35 versenyző.
3 pontot kapott:	8 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	19 dolgozat.

A KöMaL 2025. februári matematika feladatai