 |
A C. 1845. feladat (2025. február) |
C. 1845. Ezékiel összeszorzott két egész számot. A két szám közül az egyik 74-gyel nagyobb volt, mint a másik. A szorzásnál hibázott, mert a szorzatban a tízesek helyére véletlenül 3-mal kisebb számjegyet írt, mint kellett volna. A szorzás ellenőrzésekor a kisebbik tényezővel való osztásnál hányadosul pontosan 61-et kapott. Mi lehetett a két szám?
Javasolta: Sánta Gergely, Budapest
(5 pont)
A beküldési határidő 2025. március 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Legyen a kisebbik szám x, ekkor a nagyobbik x+74. Két esetet vizsgálunk az x(x+74) szorzat előjele alapján.
1. eset. Amennyiben két pozitív vagy két negatív számot szorzott össze, a szorzat pozitív, ezért Ezékiel a helyes eredménynél 30-cal kevesebb kapott. Felírjuk az x(x+74)−30=61x másodfokú egyenletet, rendezzük: x2+13x−30=0, a megoldások x1=2, x2=−15; de a −15 nem jó, mert a −15 és a −15+74=59 nem azonos előjelű.
2. eset. Negatív szorzat esetén, ha a tízes helyiértéken álló számjegyet 3-mal csökkentjük, a szám abszolút értéke csökken, vagyis nagyobb számot kapunk. Tehát a hibás eredmény 30-cal nagyobb a helyes értéknél, így most az x(x+74)+30=61x egyenletet oldjuk meg, amiből x1=−3, x2=−10 adódik, ezek előjel szempontjából megfelelőek.
Ellenőrizzük a megoldást.
Ha x=2, akkor x+74=76, szorzatuk 2⋅76=152, valamint 1222=61, így jó megoldást kaptunk.
Ha x=−3, akkor x+74=71, szorzatuk −3⋅71=−213, és a tízesek helyiértékén 1 áll, amelynél nincs 3-mal kisebb számjegy, ezért ezt kizárjuk a megoldások közül.
Ha x=−10, akkor x+74=64, szorzatuk −10⋅64=−640, valamint −610−10=61, így ez szintén jó megoldás.
Válasz: A két szám a 2 és a 76 vagy a −10 és a 64 lehetett.
Statisztika:
A KöMaL 2025. februári matematika feladatai
|
|