A C. 1846. feladat (2025. február)

C. 1846. A $\displaystyle 11$-gyel osztható ötjegyű palindromszámok hányadrésze nem osztható $\displaystyle 121$-gyel? (A palindromszám olyan pozitív egész szám, amely visszafelé olvasva megegyezik az eredetivel.)

Javasolta: Németh László, Fonyód

(5 pont)

A beküldési határidő 2025. március 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen a szám $\displaystyle \overline{xyzyx}=10001x+1010y+100z=9999x+1012y+99z+(2x-2y+z)=11(909x+92y+9z)+(2x-2y+z)$. Vezessük be az $\displaystyle R=2x-2y+z$ jelölést, ahol a változók számjegyek és $\displaystyle x$ legalább 1. A 11-gyel való oszthatóság szükséges és elégséges feltétele, hogy $\displaystyle R$ osztható legyen 11-gyel. Az $\displaystyle x$, $\displaystyle y$, $\displaystyle z$ változók értékét figyelembe véve $\displaystyle R$ értéke legalább $\displaystyle 2 \cdot 1 - 2 \cdot 9 + 0 = -16$ és legfeljebb $\displaystyle 2 \cdot 9 -2 \cdot 0 + 9 = 27$, azaz $\displaystyle -16\leq R\leq27$. Ebben az intervallumban a $\displaystyle -11$, $\displaystyle 0$, $\displaystyle 11$, $\displaystyle 22$ számok oszthatók 11-gyel. Vizsgáljuk meg az eseteket aszerint, hogy mennyi lehet a páros $\displaystyle 2x-2y$ értéke. Ha $\displaystyle -10$, vagy $\displaystyle 12$, akkor nincs olyan $\displaystyle z$, amelyet ezekhez adva nullát, vagy 22-t kaphatnánk, vagyis ezekben az esetekben $\displaystyle R$ nem osztható 11-gyel. $\displaystyle 2x-2y=-10$ esetén $\displaystyle x-y=-5$, ami négy számpárt jelent: $\displaystyle (1;6)$, $\displaystyle (2;7)$, $\displaystyle (3;8)$, $\displaystyle (4;9)$; $\displaystyle 2x-2y=12$ esetén $\displaystyle x-y=6$, melyet szintén négy számpár elégít ki: $\displaystyle (6;0)$, $\displaystyle (7;1)$, $\displaystyle (8;2)$, $\displaystyle (9;3)$, hiszen a 11-gyel való oszthatóságnál az $\displaystyle (x;y)$ párokhoz egyértelműen lehet $\displaystyle z$-t rendelni, hiszen $\displaystyle z$ egyjegyű.

Az $\displaystyle x$, $\displaystyle y$ összes lehetséges értéke 90 számpárt eredményez, ebből a fenti nyolc esetben nem kaphatunk 11-gyel osztható számot, a többi esetben igen, ezért 82 ötjegyű, 11-gyel osztható palindrom szám van.

Nézzük most a 121-gyel való oszthatóságot: $\displaystyle 121=11^{2}$, ezért ahhoz, hogy a szám osztható legyen 121-gyel, a 11-gyel való osztás után a hányadosnak ismét oszthatónak kell lennie 11-gyel. Vezessük be az $\displaystyle r=\dfrac{R}{11}$ jelölést. Az első oszthatóság feltétele az volt, hogy $\displaystyle R$ értéke $\displaystyle -11$, $\displaystyle 0$, $\displaystyle 11$ vagy $\displaystyle 22$ legyen, így $\displaystyle r$ a $\displaystyle -1$, $\displaystyle 0$, $\displaystyle 1$, $\displaystyle 2$ értékeket veheti fel.

A második 11-gyel való oszthatóságnál tehát a $\displaystyle 909x+92y+9z+r$ kifejezésnek kell oszthatónak lennie 11-gyel. Alakítsuk át a kifejezést: $\displaystyle 909x+92y+9z+r=11(83x+8y+z )+r+(-4x+4y-2z )=11(83x+8y+z )+r-2R=11(83x+8y+z )+r-22r=11(83x+8y-z )-21r$.

Ez a kifejezés akkor és csak akkor osztható 11-gyel, ha $\displaystyle r=0$, azaz $\displaystyle 2x-2y+z=0 ; z=2y-2x=2(x-y )$. Mivel $\displaystyle z$ egy páros számjegy, így csak az alábbi esetek fordulhatnak elő:
$\displaystyle z=0$, ekkor $\displaystyle x-y=0$, ez 9 eset;
$\displaystyle z=2$, ekkor $\displaystyle y-x=1$, ez 8 eset;
$\displaystyle z=4$, ekkor $\displaystyle y-x=2$, ez 7 eset;
$\displaystyle z=6$, ekkor $\displaystyle y-x=3$, ez 6 eset;
$\displaystyle z=8$, ekkor $\displaystyle y-x=4$, ez pedig 5 esetben teljesül.

Tehát összesen 35 estben 121-gyel is osztható számot kapunk. Így a 82 darab ötjegyű, 11-gyel osztható szám közül a 121-gyel nem oszthatók darabszáma $\displaystyle 47$, tehát a keresett arány $\displaystyle \dfrac{47}{82}$.

Statisztika:

30 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Bán Kincső Panni, Bencze Mátyás, Budai Máté, Farkas András, Hetyei Dániel, Iván Máté Domonkos, Kókai Ákos, Molnár Lili, Rózsa Zsombor.
4 pontot kapott:	Krüpl Boglárka, Kulcsár Anna Zita, Pánovics Máté.
3 pontot kapott:	6 versenyző.
2 pontot kapott:	4 versenyző.
1 pontot kapott:	4 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2025. februári matematika feladatai