A C. 1847. feladat (2025. február)

C. 1847. Az $\displaystyle ABCD$ négyzet $\displaystyle AD$ oldalán válasszuk ki úgy a $\displaystyle P$ pontot, hogy $\displaystyle CPA\sphericalangle=105^{\circ}$ legyen. A $\displaystyle CP$ egyenesre az $\displaystyle A$ pontból bocsássunk merőlegest, amelynek talppontját jelölje $\displaystyle Q$. Határozzuk meg az $\displaystyle ABQ$ és az $\displaystyle ACP$ háromszögek területe arányának pontos értékét.

Javasolta: Bíró Bálint, Eger

(5 pont)

A beküldési határidő 2025. március 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Tekintsük az alábbi ábrát.

Legyen az $\displaystyle ABCD$ négyzet oldalhossza egységnyi. A feltételek miatt $\displaystyle DPC\sphericalangle=75^{\circ}$, illetve $\displaystyle PCD\sphericalangle=15^{\circ}$ ezért $\displaystyle PCA\sphericalangle=30^{\circ}$.

A trigonometrikus területképlet segítségével az $\displaystyle ACP$ háromszög területe

A $\displaystyle PCD$ háromszögben $\displaystyle \displaystyle{\sin 75^{\circ}=\frac{CD}{PC}=\frac{1}{PC}}$.

Az ismert

$\displaystyle \displaystyle{\sin75^{\circ}=\sin\big(45^{\circ}+30^{\circ}\big)=\sin45^{\circ}\cdot \cos30^{\circ}+\cos45^{\circ}\cdot\sin30^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{2}}$

trigonometrikus addíciós azonosságból kapjuk, hogy

$\displaystyle \displaystyle{\sin 75^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{4}\cdot \Big(\sqrt{3}+1\Big)}.$

Ezért $\displaystyle \displaystyle{\frac{\sqrt{2}}{4}\cdot\Big(\sqrt{3}+1\Big)=\frac{1}{PC}}$, ahonnan egyszerű számolással kapjuk, hogy

A (2) eredményt és az $\displaystyle AC=\sqrt{2}$ értéket (1)-be írva és felhasználva, hogy $\displaystyle \displaystyle{\sin30^{\circ}=\frac{1}{2}}$,

Az $\displaystyle ACQ$ derékszögű háromszögben $\displaystyle ACQ\sphericalangle=30^{\circ}$, ezért ez a háromszög egy szabályos háromszög fele, így tehát $\displaystyle \displaystyle{AQ=\frac{AC}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}}$.

Az ábrát tanulmányozva egyszerűen beláthatjuk, hogy $\displaystyle QAP\sphericalangle=15^{\circ}$, ebből azonnal adódik, hogy $\displaystyle QAB\sphericalangle=105^{\circ}$, emiatt az $\displaystyle ABQ$ háromszög területe:

Mivel $\displaystyle \displaystyle{AQ=\frac{\sqrt{2}}{2}}$ és $\displaystyle AB=1$, valamint egy trigonometrikus azonosság szerint $\displaystyle \displaystyle{\sin105^{\circ}=\sin75^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{4}\cdot \Big(\sqrt{3}+1\Big)}$, így a (4)-be való helyettesítés és a műveletek elvégzése után

(5) és (3) megfelelő oldalait egymással osztva kapjuk, egyszerűsítés és gyöktelenítés után

$\displaystyle \displaystyle{\frac{t_{ABQ}}{t_{ACP}}=\frac{\sqrt{3}+2}{4}}.$

Statisztika:

A C. 1847. feladat értékelése még nem fejeződött be.

A KöMaL 2025. februári matematika feladatai