A C. 1848. feladat (2025. március)

C. 1848. Az $\displaystyle a_n$ számsorozatot a következőképpen definiáljuk: $\displaystyle a_1=1$; $\displaystyle a_2=2$, és minden $\displaystyle n$ pozitív egész számra

$\displaystyle a_{n+2}=a_n^2+a_{n+1}^2.$

Mi az utolsó számjegye a sorozat $\displaystyle 2025$. tagjának?

ausztrál versenyfeladat

(5 pont)

A beküldési határidő 2025. április 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A természetes számok tízes számrendszerbeli alakjának utolsó szám­jegye egyenlő a $\displaystyle 10$-zel való osztási maradékkal, ami a paritástól és az $\displaystyle 5$-tel való osztási maradéktól függ. Nézzük először a paritást. Egy egész szám négyzete ugyanolyan paritású, mint a szám, így az $\displaystyle a_3$ páratlan, hiszen különböző paritású számok összege. Ebből következik, hogy az $\displaystyle a_4$ is páratlan, $\displaystyle a_5$ viszont páros, hiszen két páratlan szám összegeként kapjuk meg. Láthatjuk, hogy a páratlan-páros-páratlan hármas ciklikusan ismétlődik, azaz a sorozat minden $\displaystyle 3$-mal osztható sorszámú tagja páratlan, így a $\displaystyle 2025.$ tag is. Most vizsgáljuk meg az $\displaystyle 5$-tel való osztási maradékokat. Mivel $\displaystyle a_3=5,$ így osztható $\displaystyle 5$-tel, $\displaystyle a_4=29,$ amelynek $\displaystyle 4$ az $\displaystyle 5$-tel való osztási maradéka. Ebből következik, hogy $\displaystyle a_5$ $\displaystyle 1$-et ad maradékul $\displaystyle 5$-tel osztva, $\displaystyle a_6$ pedig $\displaystyle 2$-t, így a maradékok négyesével ismétlődnek, vagyis a $\displaystyle 2025.$ tag $\displaystyle 5k+1$ alakú (ahol $\displaystyle k$ egész szám). A fentiek alapján a sorozat $\displaystyle 2025.$ tagja páratlan és $\displaystyle 5$-tel osztva $\displaystyle 1$-et ad maradékul, ezért az utolsó számjegye $\displaystyle 1$.

Megjegyzés. Mivel a paritás periódusa $\displaystyle 3$, az ötös maradékoké pedig $\displaystyle 4$, az utolsó számjegy $\displaystyle 3 \cdot 4=12$-esével ismétlődik.

Statisztika:

170 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	101 versenyző.
4 pontot kapott:	16 versenyző.
3 pontot kapott:	5 versenyző.
2 pontot kapott:	4 versenyző.
1 pontot kapott:	8 versenyző.
0 pontot kapott:	4 versenyző.
Nem versenyszerű:	4 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	17 dolgozat.

A KöMaL 2025. márciusi matematika feladatai