A C. 1850. feladat (2025. március)

C. 1850. Mutassuk meg, hogy ha az $\displaystyle a$, $\displaystyle b$, $\displaystyle c$ pozitív számokra $\displaystyle abc^6=\frac{b^2}{c^2}=16$ teljesül, akkor $\displaystyle a+4b>16$.

Javasolta: Czett Mátyás, Budapest

(5 pont)

A beküldési határidő 2025. április 10-én LEJÁRT.

Megoldás. $\displaystyle abc^6=2^4$ és $\displaystyle \frac{b^2}{c^2}=2^4$, vegyük észre, hogy a kettőt összeszorozva egy nyolcadfokú kifejezést kapunk, ami $\displaystyle 2^8$-nal egyenlő:

$\displaystyle ab^3c^4=2^8,$

$\displaystyle 2=\sqrt[8]{ab^3c^4}.$

Ez egy mértani közép, felírhatjuk a számtani és mértani közép közti egyenlőtlenséget:

$\displaystyle 2=\sqrt[8]{abbbcccc}\le\frac{a+3b+4c}8.$

Mindkét oldalt 8-cal szorozva azt kapjuk, hogy $\displaystyle 16\le a+3b+4c$.

Mivel $\displaystyle \frac{b^2}{c^2}=2^4$, tudjuk, hogy $\displaystyle 4c=b$ (hiszen a, b és c pozitívak), így $\displaystyle 16\le a+3b+b=a+4b$.

Egyenlőség akkor állhatna fenn, ha $\displaystyle a=b=c$, de ekkor $\displaystyle \frac{b^2}{c^2}=1\ne 16$.

Statisztika:

A C. 1850. feladat értékelése még nem fejeződött be.

A KöMaL 2025. márciusi matematika feladatai