A C. 1852. feladat (2025. március)

C. 1852. Oldjuk meg a valós számhármasok halmazán az

egyenletrendszert.

Javasolta: Bencze Mihály, Brassó

(5 pont)

A beküldési határidő 2025. április 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A kikötések miatt $\displaystyle -22 < x,\, y,\, z < 12$.

Tegyük fel, hogy $\displaystyle x \leq y$. Mivel az egynél nagyobb alapú logaritmusfüggvény szigorúan növekedő, így $\displaystyle \log_3(12-y)=\log_5(22+x)\leq \log_5(22+y) =\log_3(12-z)$. Tehát $\displaystyle 12-y \leq 12-z$, azaz $\displaystyle z \leq y$. Ezt felhasználva, az előzőhöz hasonlóan kapjuk, hogy $\displaystyle \log_3(12-x) = \log_5(22+z) \leq \log_5(22+y) =\log_3(12-z)$ miatt $\displaystyle 12-x \leq 12-z$, azaz $\displaystyle z \leq x$. Végül pedig $\displaystyle \log_3(12-x) = \log_5(22+z) \leq \log_5(22+x)=\log_3(12-y)$ miatt adódik, hogy $\displaystyle 12-x \leq 12-y$, azaz $\displaystyle y \leq x$. Tehát $\displaystyle x = y = z$.

Amennyiben $\displaystyle x \geq y$, úgy a fentihez hasonló gondolatmenettel juthatunk azonos eredményre.

Így az egyenletrendszer az alábbi egyenletre egyszerűsödik.

$\displaystyle \log_5(22+x)=\log_3(12-x).$

Mivel a bal oldal szigorú motonon nő, míg a jobb oldal szigorú monoton csökken, így legfeljebb egy megoldása van az egyenletnek. Az $\displaystyle x=3$ pedig megoldás; a kikötésnek megfelel.

Tehát $\displaystyle x = y = z =3$.

Statisztika:

31 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Albert Luca Liliána, Balogh Péter, Bán Kincső Panni, Barna 201 Krisztina, Bencze Mátyás, Budai Máté, Farkas András, Hetyei Dániel, Iván Máté Domonkos, Kókai Ákos, Kulcsár Anna Zita, Pánovics Máté, Pink István, Rózsa Zsombor, Sárecz Bence.
4 pontot kapott:	Bodnár Levente, Molnár Lili, Móricz Zsombor, Vinnai Botond.
3 pontot kapott:	1 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem versenyszerű:	3 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	1 dolgozat.

A KöMaL 2025. márciusi matematika feladatai