A C. 800. feladat (2005. március)

C. 800. Határozzuk meg azokat a pozitív egész számokat, amelyek 14-szer akkorák, mint a számjegyeik összege.

(5 pont)

A beküldési határidő 2005. április 15-én LEJÁRT.

Megoldás. A keresett pozitív egész szám nem lehet négyjegyű, hiszen ekkor értéke legalább 1000, míg számjegyösszegének 14-szerese legfeljebb 14(9+9+9+9)=504. Ugyanígy nyilván többjegyű sem lehet.

De az egyjegyűek sem jöhetnek szóba, mivel ott fordított reláció áll fenn a szám nagysága és számjegyösszegének 14-szerese között.

Ha a szám kétjegyű, akkor . Átrendezve a 0=4a+13b összefüggést kapjuk, ami az a és b számjegyekre nem teljesülhet. Tehát ha van ilyen pozitív egész, akkor az csak háromjegyű lehet.

Legyen a keresett szám alakú. Ekkor 100a+10b+c=14(a+b+c), ami egyenértékű a 86a=4b+13c egyenlettel. Ebből látszik, hogy c csak páros lehet, így a jobboldal maximális értéke: 4^.9+13^.8=140 lehet, vagyis az a nem lehet nagyobb 1-nél. Tehát a értéke csak 1 lehet. Ekkor a megoldandó egyenlet: 86=4b+13c. Csökkenthetjük a próbálkozások számát, ha figyelembe vesszük, hogy 86 páros, de 4-gyel nem osztható, a 4b nyilván osztható 4-gyel, így a 13c-nek is 4-gyel nem osztható páros számnak kell lennie. Ezzel c értékére már csak két lehetőség maradt: 2 vagy 6.

Ha c=2, akkor 86=4b+26, b=15, ami nem lehet.

Ha c=6, akkor 86=4b+78, b=2, ez már minden szempontból megfelel.

A keresett pozitív egész szám tehát egyedül a 126 lehet, ami jó is, hiszen valóban 14(1+2+6)=126.

Statisztika:

214 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	182 versenyző.
4 pontot kapott:	3 versenyző.
3 pontot kapott:	17 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	6 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

A KöMaL 2005. márciusi matematika feladatai