A C. 801. feladat (2005. március)

C. 801. Az egyiptomi háromszögbe, amelynek oldalai 3, 4, 5 egység hosszúak, írjunk téglalapot, amelynek a csúcsai a háromszög oldalaira illeszkednek és oldalainak aránya 1:3. Határozzuk meg a téglalap oldalainak hosszát.

(5 pont)

A beküldési határidő 2005. április 15-én LEJÁRT.

Megoldás. A téglalapot többféleképpen elhelyezhetjük a háromszögben. Legegyszerűbb eset az, amikor a téglalap oldalai párhuzamosak a háromszög befogóival:

A háromszög csúcsai A, B és C. AC=4, BC=3, AB=5 egység. A téglalap csúcsai C, D, E és F az ábra szerint. Az ABC és AEF derékszögű háromszögek hasonlóságából az első esetben $\frac{4-3x}{4}= \frac{x}{3}$ , és innen 12-9x=4x, $x=\frac{12}{13}$ és $3x=\frac{36}{13}$ .

A második esetben $\frac{4-x}{x}= \frac{3x}{3}$ ; $x=\frac{4}{5}$ és $3x=\frac{12}{5}$ .

A másik lehetőség ez elhelyezésre, amikor a téglalap egyik oldala merőleges az átfogóra:

A keletkezett derékszögű háromszögek mind hasonlók egymáshoz, mert megfelelő szögeik egyenlők. Az első esetben: $\frac{v}{x}= \frac{5}{3}$ , $v=\frac{5}{3}\,x$ ; $\frac{4-v}{3x}=\frac{4}{5}$ , $4-v= \frac{12}{5}\,x$ ; ezért $\frac{5}{3}\, x+\frac{12}{5}\, x=4,$ innen $x=\frac{60}{61}, 3x=\frac{180}{61}.$ A második esetben: $\frac{v}{3x}= \frac{5}{3}$ , $v=5\,x$ ; $\frac{4-v}{4}=\frac{x}{5}$ , $4-v= \frac{4}{5}\,x$ ; ezért $5\, x+\frac{4}{5}\, x=4,$ innen $x=\frac{20}{29}, 3x=\frac{60}{29}$ .

Statisztika:

225 dolgozat érkezett.

5 pontot kapott: 87 versenyző.

4 pontot kapott: 73 versenyző.

3 pontot kapott: 29 versenyző.

2 pontot kapott: 24 versenyző.

1 pontot kapott: 4 versenyző.

0 pontot kapott: 2 versenyző.

Nem versenyszerű: 6 dolgozat.

A KöMaL 2005. márciusi matematika feladatai

225 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	87 versenyző.
4 pontot kapott:	73 versenyző.
3 pontot kapott:	29 versenyző.
2 pontot kapott:	24 versenyző.
1 pontot kapott:	4 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.
Nem versenyszerű:	6 dolgozat.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?