Problem C. 813. (May 2005)
C. 813. One side of a rectangle is 10 cm long. How long is the other side if a 10 cm x1 cm rectangle can be just placed in it in a diagonal position?
(5 pont)
Deadline expired on June 15, 2005.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Az ábrán körívvel jelölt egyenlő (hegyes)szögeket jelölje . Ekkor AP=sin
, PB=10cos
, ezért
10=AP+PB=sin +10cos
.
A kapott egyenlet mindkét oldalát osszuk el -gyel, ekkor
Jelölje azt a hegyesszöget, amelyre
és
. Így
sin =cos
sin
+sin
cos
=sin (
+
).
Mivel 0<<
+
<
, az egyenlet csak úgy teljesülhet, ha
+(
+
)=
, azaz
=
-2
. Ezzel a téglalap másik oldala
b=cos +10sin
=-cos 2
+10sin 2
=-(2cos2
-1)+10.2sin
cos
=
Statistics:
128 students sent a solution. 5 points: 67 students. 4 points: 26 students. 3 points: 13 students. 2 points: 9 students. 1 point: 3 students. 0 point: 10 students.
Problems in Mathematics of KöMaL, May 2005