A C. 817. feladat (2005. szeptember)

C. 817. Miután Klári kiszámolta, hogy 6²+8=44, észrevette, hogy 66²+88=4444. Igaz-e minden n-re, hogy

$(\underbrace{6\dots6}_{n~{\rm jegy}})^2+ \underbrace{8\dots8}_{n~{\rm jegy}}=\underbrace{4\dots4}_{2n~{\rm jegy}}?$

(5 pont)

A beküldési határidő 2005. október 17-én LEJÁRT.

Megoldás. Azt állítjuk, hogy $(\underbrace{6\dots6}_{n~{\rm jegy}})^2+ \underbrace{8\dots8}_{n~{\rm jegy}}=\underbrace{4\dots4}_{2n~{\rm jegy}}$ minden pozitív egész n-re igaz. Bizonyítás: teljes indukcióval.

n=1-re igaz. Tételezzük fel, hogy n-re igaz. Bizonyítandó, hogy n+1-re is igaz: $(\underbrace{6\dots6}_{n+1~{\rm jegy}})^2+ \underbrace{8\dots8}_{n+1~{\rm jegy}}=\underbrace{4\dots4}_{2n+2~{\rm jegy}}$ . Legyen $a=\underbrace{1\dots1}_{n~{\rm jegy}}$ , $b=\underbrace{1\dots1}_{2n~{\rm jegy}}$ . Azt kell bizonyítani, hogy ha (6a)²+8a=4b (1), akkor 6^.(10a+1))²+8(10a+1)=4(100b+11). Kis átalakításokat végezve, majd b helyére az (1)-ből következő 9a²+2 kifejezést írva:

36^.(10a+1)²+80a+8=400b+44,

9(100a²+2a+1)+20a+2=100b+11,

900a²+200a+11=900a²+200a+11.

Ez azonosság, tehát az állítás teljesül (n+1)-re is. Vagyis minden n-re teljesül.

Statisztika:

528 dolgozat érkezett.

5 pontot kapott: 305 versenyző.

4 pontot kapott: 11 versenyző.

3 pontot kapott: 11 versenyző.

2 pontot kapott: 74 versenyző.

1 pontot kapott: 42 versenyző.

0 pontot kapott: 73 versenyző.

Nem versenyszerű: 12 dolgozat.

A KöMaL 2005. szeptemberi matematika feladatai

528 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	305 versenyző.
4 pontot kapott:	11 versenyző.
3 pontot kapott:	11 versenyző.
2 pontot kapott:	74 versenyző.
1 pontot kapott:	42 versenyző.
0 pontot kapott:	73 versenyző.
Nem versenyszerű:	12 dolgozat.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?