A C. 830. feladat (2005. december)

C. 830. Lord Moneybag így szólt az unokájához: ,,Bill, figyelj jól! Mindjárt itt a karácsony. Magamhoz vettem egy 300 és 500 font közötti összeget, mégpedig 6 font egész számú többszörösét. Kapsz belőle 5 fontot 1 fontosokban. Amikor egy-egy fontot átadok neked, a nálam maradt összeg először osztható lesz 5-tel, majd 4-gyel, azután 3-mal, majd 2-vel, végül csak 1-gyel és önmagával. Ha megmondod, hány font van nálam, még egy tízes üti a markodat.'' Mennyi pénzt vett magához a lord?

(5 pont)

A beküldési határidő 2006. január 16-án LEJÁRT.

Megoldás: Jelölje f az összeget. Tudjuk, hogy f=6k (ahol k egész). Ekkor biztos, hogy 3|f-3 és 2|f-4. Mivel 4|f-2=6k-2, azért f=12l+6 (ahol l egész). Mivel 5|f-1=12l+5, és (5,12)=1, azért 5|l. Vagyis f=12^.5m+6=60m+6 (ahol m egész). Azt is tudjuk, hogy f-5=60m+1 prímszám, és 295 és 495 közé esik. Ilyen szám csak egy van, a 421. Tehát a Lordnál 426 font volt.

Statisztika:

492 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	302 versenyző.
4 pontot kapott:	115 versenyző.
3 pontot kapott:	27 versenyző.
2 pontot kapott:	16 versenyző.
1 pontot kapott:	13 versenyző.
0 pontot kapott:	13 versenyző.
Nem versenyszerű:	6 dolgozat.

A KöMaL 2005. decemberi matematika feladatai