Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 833. feladat (2005. december)

C. 833. Egy négyzet alapú egyenes gúla alapéle és magassága is 40 cm. Az oldallapokon szeretnénk egy vonalat rajzolni az alaplap egyik csúcsából az alaplap átellenes csúcsába. Milyen hosszú a legrövidebb ilyen vonal?

(5 pont)

A beküldési határidő 2006. január 16-án LEJÁRT.

Megoldás: A gúla oldaléle $\sqrt{40^2+(20\sqrt2)^2}=\sqrt{20\sqrt6}$ . Ha kiterítjük (elég csak az alaplapot és két szomszédos oldallapot), akkor a palástra berajzolható a legrövidebb út (az ábrán zölddel húzott vonal).

Az oldallapokra felírva a cosinus-tételt:

40²=2^.20²^.6-2^.20²^.6^.cos $\alpha$ ,

amiből cos $\alpha$ =2/3.

A két oldallap együtt egy deltoidot alkot, melynek területét kétféleképpen felírva ( a zöld szakasz hossza l):

$2\cdot(20\sqrt6)^2\cdot\sin\alpha\cdot{1\over2}=20\sqrt6\cdot l\cdot{1\over2},$

amiből $\sin\alpha=\sqrt{1-4/9}$ felhasználásával

$l={80\sqrt5\over\sqrt6}\approx73,03 \hbox{~(cm).}$

Statisztika:

367 dolgozat érkezett.

5 pontot kapott: 102 versenyző.

4 pontot kapott: 92 versenyző.

3 pontot kapott: 82 versenyző.

2 pontot kapott: 41 versenyző.

1 pontot kapott: 17 versenyző.

0 pontot kapott: 15 versenyző.

Nem versenyszerű: 18 dolgozat.

A KöMaL 2005. decemberi matematika feladatai

367 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	102 versenyző.
4 pontot kapott:	92 versenyző.
3 pontot kapott:	82 versenyző.
2 pontot kapott:	41 versenyző.
1 pontot kapott:	17 versenyző.
0 pontot kapott:	15 versenyző.
Nem versenyszerű:	18 dolgozat.