A C. 853. feladat (2006. április)

C. 853. A térben egy pontból kiinduló négy félegyenes páronként ugyanakkora, nullától különböző szöget zár be. Mekkora ez a szög?

(5 pont)

A beküldési határidő 2006. május 18-án LEJÁRT.

Megoldás: Helyezzük el a keresett félegyeneseket az O pontból kiindulva úgy, hogy mindegyik egy szabályos tetraéder csúcsát tartalmazza az ábrának megfelelően. Legyenek a tetraéder oldalai egységnyiek. A feladat megoldásához számítsuk ki a CO és OD szakaszok szögét!

Az O pont a DF_cC háromszög síkjában helyezkedik el, amely felezi a tetrédert. Ebben az egyenlő szárú háromszögben DT magasság, azaz a a DTC háromszög derékszögű. A DT magasság kiszámításához írjuk fel a DF_cC háromszög területét a Héron-képlettel és a DT magasság, valamint az F_cC oldal felhasználásával:

$\frac{DT\frac{\sqrt3}2}{2}=\sqrt{\frac{\sqrt3+1}2 (\frac{\sqrt3-1}2)\frac{1}{2}\frac{1}{2} }$

ahonnan $DT=\frac{\sqrt2}{\sqrt3}$ . A CTO és CTD derékszögű háromszögekre felírva Pitagórasz tételét kapjuk, hogy $CT=\frac{1}{\sqrt3}$ és $CD=\frac{\sqrt3}{2\sqrt2}$ . Ezek alapján az OCT szög 19,47^o, a keresett DOC szög pedig 109,48^o.

Statisztika:

165 dolgozat érkezett.

5 pontot kapott: Bakacsi Péter, Bencs 111 Ferenc, Blázsik Zoltán, Buza Dániel István, Csató Bertalan, Damásdi Eszter, Dóka Éva, Dormán Miklós, Éles András, Fábián Anna, Farkas Judit, Fonyó Dávid, Gévay Gábor, Gresits Iván, Helényi-Simon Viktória, Horváth Markó, Juhász 459 István, Károly Dóra, Kőszegi Balázs, Kunos Ádám, Lantos Tamás, Lorántfy Tibor, Máté 403 Balázs, Mezei Bálint, Mihálykó Ágnes, Nagy 777 Mariann, Pulai Gábor, Ridinger Tamás, Ruppert Dániel, Salamon László, Szabó 001 Réka, Szilágyi Lilla Ráchel, Varga 171 László, Varga Imre, Venczel Márton, Vida György, Werner Miklós.

4 pontot kapott: 14 versenyző.

3 pontot kapott: 76 versenyző.

2 pontot kapott: 10 versenyző.

1 pontot kapott: 4 versenyző.

0 pontot kapott: 24 versenyző.

A KöMaL 2006. áprilisi matematika feladatai

165 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Bakacsi Péter, Bencs 111 Ferenc, Blázsik Zoltán, Buza Dániel István, Csató Bertalan, Damásdi Eszter, Dóka Éva, Dormán Miklós, Éles András, Fábián Anna, Farkas Judit, Fonyó Dávid, Gévay Gábor, Gresits Iván, Helényi-Simon Viktória, Horváth Markó, Juhász 459 István, Károly Dóra, Kőszegi Balázs, Kunos Ádám, Lantos Tamás, Lorántfy Tibor, Máté 403 Balázs, Mezei Bálint, Mihálykó Ágnes, Nagy 777 Mariann, Pulai Gábor, Ridinger Tamás, Ruppert Dániel, Salamon László, Szabó 001 Réka, Szilágyi Lilla Ráchel, Varga 171 László, Varga Imre, Venczel Márton, Vida György, Werner Miklós.
4 pontot kapott:	14 versenyző.
3 pontot kapott:	76 versenyző.
2 pontot kapott:	10 versenyző.
1 pontot kapott:	4 versenyző.
0 pontot kapott:	24 versenyző.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?