Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 898. feladat (2007. április)

C. 898. Az ABC szabályos háromszög oldalainak hossza 6 cm. A háromszög C csúcsából kiindulva egy bogár egyenletesen mozog az A csúcs felé 4 mm/s sebességgel. Ugyanakkor a B csúcsból is elindul egy bogár a C csúcs felé 3 mm/s sebességgel. Az indulásuktól számítva mennyi idő múlva lesznek egymáshoz a legközelebb, és mekkora ez a távolság?

(5 pont)

A beküldési határidő 2007. május 15-én LEJÁRT.

Megoldás. Az indulástól számított t másodperc múlva legyenek egymástól x távolságra. Ekkor x-re (amennyiben egyik sem ért még célba) felírható:

x^2=(4t)^2+(60-3t)^2-2\cdot4t\cdot(60-3t)\cdot\frac12= 37t^2-600t+3600=37\left[\left(t-\frac{300}{37}\right)^2+\frac{43200}{37^2}\right].

Látható, hogy x a minimumát t=\frac{300}{37}~{\rm sec}\approx 8,11~{\rm sec}-mal az indulás után veszi fel, ekkor egyik bogár sem ért még célba. A minimum értéke:

x=\sqrt{\frac{43200}{37}}~{\rm mm} \approx 34,17~{\rm mm}.

Statisztika:

211 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:96 versenyző.
4 pontot kapott:29 versenyző.
3 pontot kapott:14 versenyző.
2 pontot kapott:3 versenyző.
1 pontot kapott:9 versenyző.
0 pontot kapott:45 versenyző.
Nem versenyszerű:15 dolgozat.

A KöMaL 2007. áprilisi matematika feladatai