Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 903. feladat (2007. május)

C. 903. Határozzuk meg a

\sqrt{x-2}+2\sqrt{3-x}

kifejezés legnagyobb értékét.

(5 pont)

A beküldési határidő 2007. június 15-én LEJÁRT.

Megoldás. Írjuk át az összeget, és alkalmazzuk a számtani-négyzetes közepek közti egyenlőtlenséget (azért érdemes átírni, hogy a gyökjel alatt a tagok négyzetében az x-et tartalmazó tagok kiejtsék egymást):

S=\sqrt{x-2}+2\sqrt{3-x}=\sqrt{x-2}+4\cdot\frac{\sqrt{3-x}}{2},

\frac{S}{5}=\frac{\sqrt{x-2}+4\cdot\frac{\sqrt{3-x}}{2}}{5}\leq\sqrt{\frac{(x-2)+4\cdot\frac{3-x}{4}}{5}}=\sqrt{\frac{1}{5}}.

Tehát S maximális értéke \sqrt5, amit akkor vesz fel, ha \sqrt{x-2}=\frac{\sqrt{3-x}}{2}, amiből x=2,2. Ez az érték benne van S értelmezési tartományában.

Statisztika:

132 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:56 versenyző.
4 pontot kapott:32 versenyző.
3 pontot kapott:1 versenyző.
0 pontot kapott:31 versenyző.
Nem versenyszerű:12 dolgozat.

A KöMaL 2007. májusi matematika feladatai